TS I.6
SPECTRES ET CARACTÈRES
§ 1
on l’appelle la sous-algèbre pleine de A engendrée par M. Le commutant M de M dans A est une sous-algèbre pleine de A (car, si x est
inversible dans A et commute avec M, alors x −1 commute avec M).
Donc le bicommutant M de M est une sous-algèbre pleine de A qui
contient la sous-algèbre pleine de A engendrée par M.
Si les éléments de M sont deux à deux permutables, on a M ⊂ M
et M ⊂ M ; l’algèbre M est donc commutative et il en est alors de
même de l’algèbre pleine engendrée par M.
Une sous-algèbre commutative maximale de A est une sous-algèbre
pleine, car elle est égale à son commutant.
Lemme 2. — Soit (x λ ) λ∈Λ une famille d’éléments deux à deux permutables de A. La sous-algèbre pleine engendrée par (x λ ) est l’ensemble des éléments de la forme R((x λ )), où R ∈ K((X λ )) parcourt
l’ensemble des fractions rationnelles dans lesquelles la famille (x λ ) est
substituable.
Soit B la sous-algèbre pleine de A engendrée par la famille (x λ ), et
notons B 1 l’ensemble des éléments de la forme R((x λ )), où R((X λ ))
est une fraction rationnelle dans laquelle (x λ ) est substituable.
Explicitement, B 1 est l’ensemble des éléments de A de la forme
P((x λ ))Q((x λ )) −1 , où P, Q ∈ K[(X λ )] et Q((x λ )) est inversible dans
A. L’ensemble B 1 est une sous-algèbre unifère de A contenant la
famille (x λ ). C’est une sous-algèbre pleine : si P((x λ ))Q((x λ )) −1 est
inversible dans A, alors P((x λ )) est inversible dans A et l’inverse
Q((x λ ))P((x λ )) −1 de P((x λ ))Q((x λ )) −1 appartient à B 1 . On a donc
B ⊂ B 1 . D’autre part, si P, Q ∈ K[(X λ )], et si Q((x λ )) est inversible
dans A, alors P((x λ )) ∈ B et Q((x λ )) ∈ B, donc Q((x λ )) −1 ∈ B et
P((x λ ))Q((x λ )) −1 ∈ B, donc B 1 ⊂ B.
6. Caractères d’une algèbre unifère commutative
Définition 4. — Soit A une algèbre unifère commutative sur K. On
appelle caractère unifère un morphisme unifère de A dans K.
Lorsqu’aucune confusion ne peut en résulter, on dira simplement caractère au lieu de caractère unifère. L’ensemble des caractères unifères
de A est noté X(A). Si A est l’algèbre nulle, alors X(A) est vide.
SPECTRES ET CARACTÈRES
§ 1
on l’appelle la sous-algèbre pleine de A engendrée par M. Le commutant M de M dans A est une sous-algèbre pleine de A (car, si x est
inversible dans A et commute avec M, alors x −1 commute avec M).
Donc le bicommutant M de M est une sous-algèbre pleine de A qui
contient la sous-algèbre pleine de A engendrée par M.
Si les éléments de M sont deux à deux permutables, on a M ⊂ M
et M ⊂ M ; l’algèbre M est donc commutative et il en est alors de
même de l’algèbre pleine engendrée par M.
Une sous-algèbre commutative maximale de A est une sous-algèbre
pleine, car elle est égale à son commutant.
Lemme 2. — Soit (x λ ) λ∈Λ une famille d’éléments deux à deux permutables de A. La sous-algèbre pleine engendrée par (x λ ) est l’ensemble des éléments de la forme R((x λ )), où R ∈ K((X λ )) parcourt
l’ensemble des fractions rationnelles dans lesquelles la famille (x λ ) est
substituable.
Soit B la sous-algèbre pleine de A engendrée par la famille (x λ ), et
notons B 1 l’ensemble des éléments de la forme R((x λ )), où R((X λ ))
est une fraction rationnelle dans laquelle (x λ ) est substituable.
Explicitement, B 1 est l’ensemble des éléments de A de la forme
P((x λ ))Q((x λ )) −1 , où P, Q ∈ K[(X λ )] et Q((x λ )) est inversible dans
A. L’ensemble B 1 est une sous-algèbre unifère de A contenant la
famille (x λ ). C’est une sous-algèbre pleine : si P((x λ ))Q((x λ )) −1 est
inversible dans A, alors P((x λ )) est inversible dans A et l’inverse
Q((x λ ))P((x λ )) −1 de P((x λ ))Q((x λ )) −1 appartient à B 1 . On a donc
B ⊂ B 1 . D’autre part, si P, Q ∈ K[(X λ )], et si Q((x λ )) est inversible
dans A, alors P((x λ )) ∈ B et Q((x λ )) ∈ B, donc Q((x λ )) −1 ∈ B et
P((x λ ))Q((x λ )) −1 ∈ B, donc B 1 ⊂ B.
6. Caractères d’une algèbre unifère commutative
Définition 4. — Soit A une algèbre unifère commutative sur K. On
appelle caractère unifère un morphisme unifère de A dans K.
Lorsqu’aucune confusion ne peut en résulter, on dira simplement caractère au lieu de caractère unifère. L’ensemble des caractères unifères
de A est noté X(A). Si A est l’algèbre nulle, alors X(A) est vide.