N
o 5
SOUS-ALGÈBRES PLEINES
TS I.5
On vérifie en effet que (e − 1) · A = A · (e − 1) = 0, donc que
A est
l’algèbre unifère produit de A et de K(e − 1). Notre assertion résulte
donc de la remarque 8 de I, p. 3.
2) Il résulte de la remarque 1 que, si B est une algèbre sur K et si
x ∈ B, on a :
Sp
B (x) = Sp
B
(x) = Sp
B
(x) ∪ {0} = Sp
B
(x).
3) Si x appartient au radical de A (A, VIII, p. 430, déf. 3), on a
Sp
A (x) = {0}. Ceci résulte de la remarque 7 de I, p. 3.
Proposition 1. — Soient A une algèbre et x, y ∈ A. On a Sp
(xy) =
Sp
(yx).
En passant à
A, on se ramène au cas où A possède un élément
unité e. Il suffit alors de prouver que, si λ = 0 est tel que xy − λe
admette un inverse u, alors yx − λe est inversible. Posons z = yux − e.
Puisque xyu = λu + e, on a
(yx − λe)z = y(xyu)x − yx − λyux + λe
= y(λu + e)x − yx − λyux + λe = λe
et de même z(yx − λe) = λe. Comme λ = 0, on voit que yx − λe est
inversible.
Si A est une algèbre unifère et si x, y ∈ A, la proposition précédente
entraîne que Sp(xy)∪{0} = Sp(yx)∪{0}, mais on peut avoir Sp(xy) =
Sp(yx) (cf. I, p. 153, exerc. 3).
5. Sous-algèbres pleines
Soit A une algèbre unifère sur K.
Définition 3. — On appelle sous-algèbre pleine de A une sousalgèbre unifère B telle que tout élément de B qui est inversible dans A
soit inversible dans B.
Autrement dit, B est une sous-algèbre pleine de A si et seulement
si Sp B (x) = Sp A (x) pour tout x ∈ B.
L’intersection d’une famille de sous-algèbres pleines de A est une
sous-algèbre pleine de A.
Soit M une partie de A. L’intersection des sous-algèbres pleines de A
contenant M est la plus petite sous-algèbre pleine de A contenant M ;