TS I.4
SPECTRES ET CARACTÈRES
§ 1
Pour x fixé, les valeurs de R(x, λ) sont deux à deux permutables. Si
λ, µ ∈ K, on a :
(λ − µ)e = (λe − x) − (µe − x)
donc, si λ, µ ∈ K Sp(x), on a la relation
(1)
(λ − µ)R(x, λ)R(x, µ) = R(x, µ) − R(x, λ).
Si x, y ∈ A et λ ∈ K, on a :
y − x = (λe − x) − (λe − y)
donc, si λ ∈ K (Sp(x) ∪ Sp(y)), on a la relation
(2)
R(y, λ)(y − x)R(x, λ) = R(y, λ) − R(x, λ).
4. Spectre d’un élément dans une algèbre
Soit A une algèbre sur K. Rappelons (A, III, p. 4) qu’on définit sur
l’espace vectoriel
A = K × A une structure d’algèbre telle que :
(λ, a)(µ, b) = (λµ, λb + µa + ab).
Soit e = (1, 0). Alors (
A, e) est une algèbre unifère dite déduite de A par
adjonction d’un élément unité. L’algèbre A s’identifie à l’idéal bilatère
{0} × A de
A ; l’algèbre A est commutative si et seulement si
A l’est.
Si A est une seconde algèbre sur K, (
A , e ) l’algèbre unifère déduite
de A par adjonction d’un élément unité, et ϕ un morphisme de A
dans A , il existe un morphisme unifère et un seul de (
A, e) dans (
A , e )
qui prolonge ϕ.
Soient A une algèbre sur K et x ∈ A. On appelle spectre de x
relativement à A le spectre de x relativement à l’algèbre unifère
A
déduite de A par adjonction d’un élément unité. Cet ensemble sera noté
Sp
A (x), ou Sp
(x) si aucune confusion n’en résulte. On a 0 ∈ Sp
A (x)
quel que soit x ∈ A.
Si ϕ est un morphisme de A dans une algèbre B, on a Sp
B (ϕ(x)) ⊂
Sp
A (x).
Remarques. — 1) Soit (A, 1) une algèbre unifère. Si x ∈ A, on a
Sp
A (x) = Sp A (x) ∪ {0}.