N
o 3
RÉSOLVANTE
TS I.3
5) Supposons que l’algèbre A soit non nulle. Soit x ∈ A un élément
nilpotent. Notons n un entier tel que x n = 0. Le spectre de x n est réduit
à 0, donc il en est de même du spectre de x d’après la remarque 4.
6) Soient A et B des algèbres unifères sur K et ϕ : A → B un morphisme unifère. Pour tout x ∈ A, on a Sp B (ϕ(x)) ⊂ Sp A (x).
7) Soient A une algèbre unifère, R son radical (A, VIII, p. 150,
déf. 2) et soit ϕ le morphisme canonique de A sur B = A/R. Si x ∈ A,
on a Sp B (ϕ(x)) = Sp A (x). En effet, il suffit de prouver que si ϕ(x) est
inversible dans B, alors x est inversible dans A. Or, si y ∈ A est tel que
ϕ(x)ϕ(y) = ϕ(y)ϕ(x) = ϕ(e), on a xy ∈ e + R, yx ∈ e + R, donc xy et
yx sont inversibles (A, VIII, p. 151, th. 1) et par suite x est inversible.
En particulier, si x ∈ R, on a Sp A (x) = {0} si A = {0}.
8) Soit (B i ) i∈I une famille d’algèbres unifères, avec B i = (A i , e i ) pour
i ∈ I. Posons A =
i A i , e = (e i ) i∈I . Alors (A, e) est une algèbre unifère
appelée produit des B i . Si x = (x i ) i∈I ∈ A, on a Sp A (x) =
i Sp A i (x i ).
Exemples. — 1) Soit X un ensemble et soit A = K X l’algèbre des
fonctions à valeurs dans K définies sur X. Le spectre d’un élément f
de A est l’ensemble des valeurs de f .
2) Soit A une algèbre unifère de rang fini sur K. Pour que x ∈ A
soit inversible, il faut et il suffit que l’application linéaire y → xy de A
dans A soit de déterminant non nul. Il en résulte que le spectre de x
est l’ensemble des racines du polynôme caractéristique de x (A, III,
p. 110). Si A est l’algèbre des endomorphismes d’un espace vectoriel V
de dimension finie sur K, le spectre de x est donc l’ensemble des valeurs
propres de x. Il n’en est pas toujours ainsi quand V est de dimension
infinie (cf. I, p. 153, exercice 2).
3. Résolvante
Définition 2. — Soient A une algèbre unifère sur K et x ∈ A. Pour
tout λ ∈ K Sp(x), on pose
R(x, λ) = (λe − x)
−1 .
L’application de K Sp(x) dans A donnée par λ → R(x, λ) s’appelle
la résolvante de x.
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RÉSOLVANTE
TS I.3
5) Supposons que l’algèbre A soit non nulle. Soit x ∈ A un élément
nilpotent. Notons n un entier tel que x n = 0. Le spectre de x n est réduit
à 0, donc il en est de même du spectre de x d’après la remarque 4.
6) Soient A et B des algèbres unifères sur K et ϕ : A → B un morphisme unifère. Pour tout x ∈ A, on a Sp B (ϕ(x)) ⊂ Sp A (x).
7) Soient A une algèbre unifère, R son radical (A, VIII, p. 150,
déf. 2) et soit ϕ le morphisme canonique de A sur B = A/R. Si x ∈ A,
on a Sp B (ϕ(x)) = Sp A (x). En effet, il suffit de prouver que si ϕ(x) est
inversible dans B, alors x est inversible dans A. Or, si y ∈ A est tel que
ϕ(x)ϕ(y) = ϕ(y)ϕ(x) = ϕ(e), on a xy ∈ e + R, yx ∈ e + R, donc xy et
yx sont inversibles (A, VIII, p. 151, th. 1) et par suite x est inversible.
En particulier, si x ∈ R, on a Sp A (x) = {0} si A = {0}.
8) Soit (B i ) i∈I une famille d’algèbres unifères, avec B i = (A i , e i ) pour
i ∈ I. Posons A =
i A i , e = (e i ) i∈I . Alors (A, e) est une algèbre unifère
appelée produit des B i . Si x = (x i ) i∈I ∈ A, on a Sp A (x) =
i Sp A i (x i ).
Exemples. — 1) Soit X un ensemble et soit A = K X l’algèbre des
fonctions à valeurs dans K définies sur X. Le spectre d’un élément f
de A est l’ensemble des valeurs de f .
2) Soit A une algèbre unifère de rang fini sur K. Pour que x ∈ A
soit inversible, il faut et il suffit que l’application linéaire y → xy de A
dans A soit de déterminant non nul. Il en résulte que le spectre de x
est l’ensemble des racines du polynôme caractéristique de x (A, III,
p. 110). Si A est l’algèbre des endomorphismes d’un espace vectoriel V
de dimension finie sur K, le spectre de x est donc l’ensemble des valeurs
propres de x. Il n’en est pas toujours ainsi quand V est de dimension
infinie (cf. I, p. 153, exercice 2).
3. Résolvante
Définition 2. — Soient A une algèbre unifère sur K et x ∈ A. Pour
tout λ ∈ K Sp(x), on pose
R(x, λ) = (λe − x)
−1 .
L’application de K Sp(x) dans A donnée par λ → R(x, λ) s’appelle
la résolvante de x.