TS I.2
SPECTRES ET CARACTÈRES
§ 1
Lemme 1. — Soit A une algèbre. Pour tout idempotent j de A, le
sous-espace jAj de A est l’ensemble des x ∈ A tels que xj = jx = x.
C’est une sous-algèbre de A qui admet l’élément unité j.
La preuve est élémentaire.
2. Spectre d’un élément dans une algèbre unifère
Définition 1. — Soient A une algèbre unifère sur K et e son élément
unité. Pour tout x ∈ A, on appelle spectre de x relativement à A
l’ensemble des λ ∈ K tels que λe − x ne soit pas inversible.
Le spectre de x sera noté Sp A (x), ou Sp(x) si aucune confusion n’en
résulte. Le complémentaire de Sp A (x) dans K est appelé l’ensemble
résolvant de x.
Remarques. — 1) Si A = {0}, on a Sp(0) = ∅.
2) Si A = {0}, on a Sp(λe) = {λ} pour tout λ ∈ K.
3) Pour que x ∈ A soit inversible, il faut et il suffit que 0 ∈ Sp(x).
4) Soit R ∈ K(X) une fraction rationnelle et soit x ∈ A un élément
qui est substituable dans R, c’est-à-dire (A, IV, p. 20) qu’il existe P
et Q ∈ K[X] tels que R = P/Q et Q(x) est inversible ; on peut alors
former l’élément R(x) = P(x) · Q(x) −1 = Q(x) −1 · P(x) de A ; il ne
dépend pas des choix de P et Q. On a 0 ∈ Q(Sp(x)), de sorte que tout
élément de Sp(x) est substituable dans R.
On a R(Sp(x)) ⊂ Sp(R(x)). Soit en effet λ ∈ Sp(x) ; il existe un
polynôme P 1 tel que R(λ)−R(X) = (λ−X)P 1 (X)/Q(X) ; alors, R(λ)e−
R(x) = (λe − x)(P 1 (x)/Q(x)), de sorte que R(λ) − R(x) n’est pas
inversible, donc R(λ) ∈ Sp(R(x)).
Inversement, supposons que le corps K est algébriquement clos. Supposons d’abord que R n’est pas constante et démontrons que l’on
a Sp(R(x)) = R(Sp(x)). Soit µ ∈ Sp(R(x)). Comme R n’est pas
constante, P−µQ n’est pas le polynôme nul ; soit µQ−P = α
(λ i −X)
une décomposition en facteurs de degré 1, de sorte que µe − R(x) =
α
(λ i e − x)Q(x) −1 . Puisque µe − R(x) n’est pas inversible, il existe i
tel que λ i e − x n’est pas inversible, donc λ i ∈ Sp(x), puis R(λ i ) = µ ∈
R(Sp(x)).
Lorsque R est constante, l’égalité Sp(R(x)) = R(Sp(x)) vaut aussi,
à condition que Sp(x) soit non vide.
SPECTRES ET CARACTÈRES
§ 1
Lemme 1. — Soit A une algèbre. Pour tout idempotent j de A, le
sous-espace jAj de A est l’ensemble des x ∈ A tels que xj = jx = x.
C’est une sous-algèbre de A qui admet l’élément unité j.
La preuve est élémentaire.
2. Spectre d’un élément dans une algèbre unifère
Définition 1. — Soient A une algèbre unifère sur K et e son élément
unité. Pour tout x ∈ A, on appelle spectre de x relativement à A
l’ensemble des λ ∈ K tels que λe − x ne soit pas inversible.
Le spectre de x sera noté Sp A (x), ou Sp(x) si aucune confusion n’en
résulte. Le complémentaire de Sp A (x) dans K est appelé l’ensemble
résolvant de x.
Remarques. — 1) Si A = {0}, on a Sp(0) = ∅.
2) Si A = {0}, on a Sp(λe) = {λ} pour tout λ ∈ K.
3) Pour que x ∈ A soit inversible, il faut et il suffit que 0 ∈ Sp(x).
4) Soit R ∈ K(X) une fraction rationnelle et soit x ∈ A un élément
qui est substituable dans R, c’est-à-dire (A, IV, p. 20) qu’il existe P
et Q ∈ K[X] tels que R = P/Q et Q(x) est inversible ; on peut alors
former l’élément R(x) = P(x) · Q(x) −1 = Q(x) −1 · P(x) de A ; il ne
dépend pas des choix de P et Q. On a 0 ∈ Q(Sp(x)), de sorte que tout
élément de Sp(x) est substituable dans R.
On a R(Sp(x)) ⊂ Sp(R(x)). Soit en effet λ ∈ Sp(x) ; il existe un
polynôme P 1 tel que R(λ)−R(X) = (λ−X)P 1 (X)/Q(X) ; alors, R(λ)e−
R(x) = (λe − x)(P 1 (x)/Q(x)), de sorte que R(λ) − R(x) n’est pas
inversible, donc R(λ) ∈ Sp(R(x)).
Inversement, supposons que le corps K est algébriquement clos. Supposons d’abord que R n’est pas constante et démontrons que l’on
a Sp(R(x)) = R(Sp(x)). Soit µ ∈ Sp(R(x)). Comme R n’est pas
constante, P−µQ n’est pas le polynôme nul ; soit µQ−P = α
(λ i −X)
une décomposition en facteurs de degré 1, de sorte que µe − R(x) =
α
(λ i e − x)Q(x) −1 . Puisque µe − R(x) n’est pas inversible, il existe i
tel que λ i e − x n’est pas inversible, donc λ i ∈ Sp(x), puis R(λ i ) = µ ∈
R(Sp(x)).
Lorsque R est constante, l’égalité Sp(R(x)) = R(Sp(x)) vaut aussi,
à condition que Sp(x) soit non vide.