FORMULAIRE DANS (R/aZ) n
TS II.321
Formulaire dans (R/aZ) n
Pour la commodité du lecteur, nous énonçons les formules principales de la théorie de Fourier pour le groupe (R/aZ) n , où a > 0, muni
de la mesure de Haar de masse totale 1, notée a −n dx. Lorsque n = 1,
cela correspond aux fonctions périodiques de période a. Le groupe
dual de (R/aZ) n est identifié au groupe Z n par le biais de l’application (R/aZ) n × Z n → U induit par passage au quotient à partir de
l’application définie par
(x, y) → exp
2iπ
a
x · y
pour tout x ∈ R n et tout y ∈ Z n . La mesure duale sur Z n est alors la
mesure de comptage.
f ∈ L
1 ((R/aZ)
n )
f (y) =
1
a n
(R/aZ)
n
f (x) exp
−
2iπ
a
y · x
dx
(y ∈ Z
n ; déf. 3, p. 206)
f ∈ L
1 ((R/aZ)
n ) ou
L
2 ((R/aZ)
n )
h ∈ (R/aZ)
n
f h (y) = exp(
2iπ
a h · y)
f (y)
f h (x) = f (x + h)
(éq. (11), p. 208)
f ∈ L
1 ((R/aZ)
n ) ou
L
2 ((R/aZ)
n )
h ∈ (R/aZ)
n
g h (y) =
f (y − h)
g h (x) = f (x) exp(
2iπ
a h · x)
(éq. (12), p. 208)
f ∈ L
2 ((R/aZ)
n )
1
a n
(R/aZ)
n
|f (x)|
2 dx =
y∈Z n
|
f (y)|
2
(th. 1, p. 215)
f ∈ L
2 ((R/aZ)
n ) telle que
f ∈ L
1 (Z
n )
f (x) =
y∈Z n
f (y) exp(
2iπ
a y · x)
(presque partout ; prop. 12, p. 219)
f ∈ A((R/aZ)
n )
f (x) =
y∈Z n
f (y) exp(
2iπ
a y · x)
(x ∈ (R/aZ)
n ; prop. 11 p. 217)