TS II.320
FORMULAIRE DE THÉORIE DE FOURIER
A(G) ⊂ L
1 (G) ∩ L
2 (G) ∩ B(G)
(espace engendré par f ∗ g où f ,
g ∈ L
1 (G) ∩ L
2 (G))
F (A(G)) ⊂ C 0 (
G)∩L
1 (
G)∩L
2 (
G)
(cor. de la prop. 8, p. 211, lemme 5,
p. 215, prop. 11, p. 217)
Formulaire dans R n
On rappelle ici les formules les plus importantes concernant la transformation de Fourier dans R n , muni de la norme euclidienne. On
identifie R n à son dual par l’application (x, y) → exp(2iπx · y), où
x · y =
j x j y j pour tous x = (x j ) et y = (y j ) dans R n .
f ∈ L
1 (R
n )
f (y) =
R n
f (x) exp(−2iπx · y)dx
(y ∈ R
n ; déf. 3, p. 206)
f ∈ L
1 (R
n ) ou L
2 (R
n )
y ∈ R
n
f h (y) = exp(2iπh · y)
f (y)
f h (x) = f (x + h)
(éq. (11), p. 208)
f ∈ L
1 (R
n ) ou L
2 (R
n )
h ∈ R
n
g h (y) =
f (y − h)
g h (x) = f (x) exp(2iπh · x)
(éq. (12), p. 208)
f ∈ L
1 (R
n ) ou L
2 (R
n )
σ ∈ GL(n, R)
f ◦ σ =
1
|det(σ)|
f ◦
t σ
−1
(éq. (16), p. 208)
f (x) = exp(−Q(x)),
Q(x) = σ(x)
2
Q forme quadratique définie
positive
f (y) =
1
det(σ) exp(−Q
∗ (y)),
Q
∗ (y) =
t σ
−1 (y)
2
(exemple, p. 239)
f ∈ L
2 (R
n )
R n
|f (x)|
2 dx =
R n
|
f (y)|
2 dy
(th. 1, p. 215)
f ∈ L
2 (R
n ) telle que
f ∈ L
1 (R
n )
f (x) =
R n
f (y) exp(2iπx · y)dx
(presque partout ; prop. 12, p. 219)
f ∈ A(R
n )
f (x) =
R n
f (y) exp(2iπx · y)dx
(x ∈ R
n ; prop. 11 p. 217)