TS II.318
EXERCICES
§ 3
a) Il existe f ∈ L
1 (R) telle que A f est une sous-algèbre maximale propre
de L
1 (R).
On suppose dans la suite que f ∈ L
1 (R) est une fonction telle que A f est
une sous-algèbre maximale propre de L
1 (R).
b) On note S = {0} ∪
f (R) ⊂ C. Montrer que la fonction z → z n’est pas
limite uniforme sur S de fonctions polynômes. (Montrer d’abord que C S
n’est pas connexe.)
c) La sous-algèbre de L
1 (R) engendrée par f et
f est dense dans L
1 (R).
d) La transformée de Fourier de f est injective et ne s’annule pas sur R.
(Montrer que S ne saurait avoir deux composantes connexes bornées.)