§ 3
EXERCICES
TS II.317
d) Il existe un caractère χ de C tel que χ(f ) = 1 ; on a
χ(ϕ) =
+∞
0
e
−x ϕ(x)dx
pour toute fonction ϕ ∈ L
1 (R + ).
e) Il existe une mesure µ ∈ M
1 (R) de norme 1 telle que χ(ϕ) =
ϕ dµ
pour toute fonction ϕ ∈ C.
f ) La transformée de Fourier de µ est la fonction x → e
−|x| .
g) Soit ϕ ∈ C. Pour tout y > 0, on a
R
ϕ(x)(e
−|x+y| − e
−|x|−y )dx = 0.
(Utiliser la relation χ(ϕ ∗ ψ) = χ(ϕ)χ(ψ) pour ψ ∈ L
1 (R + ).)
h) On a C = L
1 (R + ). (Ainsi, la sous-algèbre L
1 (R + ) est une sous-algèbre
fermée maximale de L
1 (R).)
18) Soit G un groupe topologique commutatif discret ordonné. On note
additivement la loi de groupe de G, et on note 0 son unité. On note G
+
l’ensemble des éléments x 0 de G.
a) L’espace L
1
+ des fonctions f ∈ L
1 (G) s’annulant en dehors de G
+ est une
sous-algèbre fermée de L
1 (G).
b) On suppose que G n’est pas archimédien (TG, V, p. 16, exercice 1 du
§3). L’algèbre L
1
+ n’est pas maximale dans L
1 (G).
On suppose désormais que G est archimédien. Soit A une sous-algèbre
fermée de L
1 (G) contenant L
1
+ . Pour tout x ∈ G, on note ϕ x ∈ L
1 (G) la
fonction caractéristique de {x}. Elle est inversible dans L
1 (G) et son inverse
est ϕ −x .
c) Il existe y ∈ G + tel que ϕ y ∈ A et ϕ −y = ϕ
−1
y
/
∈ A et il existe un
caractère χ = 0 de A tel que χ(y) = 0.
d) Pour tout x > 0 dans G, on a χ(x) = 0. (Il existe un entier k 1 tel que
−y + kx > 0.)
e) Il existe une mesure µ ∈ M
1 (G) de norme 1 telle que χ est la restriction
de µ à l’algèbre A vue comme sous-espace de C (G). (Pour f ∈ A, on a
|χ(f )| (f ) et de plus (f ) = f ∞ .)
f ) Soit
µ : G → C la cotransformée de Fourier de µ. On a
µ(x) = 0 si x > 0.
g) La mesure µ est la mesure de comptage sur G.
h) La sous-algèbre L
1
+ est maximale dans L
1 (G).
19) Pour f ∈ L
1 (R), on note A f la sous-algèbre fermée de L
1 (R) engendrée
par f .