TS II.316
EXERCICES
§ 3
e) Soient I un idéal fermé de L
1 (R
n ), A = V(I), f une fonction de L
1 (R
n )
telle que F (f ) s’annule sur A. Pour h > 0, soit A h l’ensemble des points
de R
n extérieurs à A et situés à une distance de A inférieure à h, et soit
ω(h) = sup x∈A h |F (f )(x)|. Si
lim inf
h→0
ω(h)
2 µ(A h )
h n
= 0
alors f ∈ I. (Utiliser d).)
f ) Soient f ∈ L
1 (R), α ∈]0, 1[, et supposons
R
|y|
α |f (y)|dy < +∞. Alors
il existe une constante k telle que |F (f )(x + h) − F (f )(x)| kh
α pour tout
x ∈ R et tout h ∈ R.
g) Soient I un idéal fermé de L
1 (R), f une fonction de L
1 (R) telle que F (f )
s’annule sur V(I). Si
R
|y
1/2 f (y)|dy < +∞,
alors on a f ∈ I. (Utiliser e) et f ).)
16) Soit f ∈ L
∞ (G). On dit que f vérifie la condition de synthèse spectrale si
elle appartient à Y(A(W f )), où W f est l’intersection de tous les sous-espaces
faiblement fermés invariant par translation de L
∞ (G) qui contiennent f .
a) Soient µ ∈ M
1 (
G) et f = F
G
(µ) ∈ L
∞ (G). Alors A(W f ) est le support
de µ. De plus, f vérifie la condition de synthèse spectrale.
b) Si G est discret, toute fonction f ∈ L
2 (G) vérifie la condition de synthèse
spectrale.
17) Pour tout p 1, on identifie L
p (R + ) à un sous-espace fermé de L
p (R).
Soit f ∈ L
1 (R + ) la fonction définie par f (x) = 2e
−x pour x ∈ R + , et soit
g ∈ L
1 (R) la fonction telle que g(x) = f (−x).
a) Montrer que f + g = f ∗ g.
b) Soit A (resp. B) la sous-algèbre de L
1 (R) engendrée par f (resp. par f
et g). Montrer que A est dense dans L
1 (R + ). (Soit h ∈ L
∞ (R + ) tel que
h, f
∗n = 0 pour tout entier n 1, où f
∗n est la convolution itérée n fois de
f ; montrer que la transformée de Laplace
F(z) =
+∞
0
e
−xz h(x)dx,
définie pour tout z ∈ C tel que R(z) > 0, est nulle.) Déduire que B est dense
dans L
1 (R).
c) Soit C une sous-algèbre fermée propre de L
1 (R) contenant A. On a
1 ∈ Sp C (f ). (Montrer que dans le cas contraire, la question a) et le calcul
fonctionnel holomorphe dans C impliqueraient que g ∈ C.)
EXERCICES
§ 3
e) Soient I un idéal fermé de L
1 (R
n ), A = V(I), f une fonction de L
1 (R
n )
telle que F (f ) s’annule sur A. Pour h > 0, soit A h l’ensemble des points
de R
n extérieurs à A et situés à une distance de A inférieure à h, et soit
ω(h) = sup x∈A h |F (f )(x)|. Si
lim inf
h→0
ω(h)
2 µ(A h )
h n
= 0
alors f ∈ I. (Utiliser d).)
f ) Soient f ∈ L
1 (R), α ∈]0, 1[, et supposons
R
|y|
α |f (y)|dy < +∞. Alors
il existe une constante k telle que |F (f )(x + h) − F (f )(x)| kh
α pour tout
x ∈ R et tout h ∈ R.
g) Soient I un idéal fermé de L
1 (R), f une fonction de L
1 (R) telle que F (f )
s’annule sur V(I). Si
R
|y
1/2 f (y)|dy < +∞,
alors on a f ∈ I. (Utiliser e) et f ).)
16) Soit f ∈ L
∞ (G). On dit que f vérifie la condition de synthèse spectrale si
elle appartient à Y(A(W f )), où W f est l’intersection de tous les sous-espaces
faiblement fermés invariant par translation de L
∞ (G) qui contiennent f .
a) Soient µ ∈ M
1 (
G) et f = F
G
(µ) ∈ L
∞ (G). Alors A(W f ) est le support
de µ. De plus, f vérifie la condition de synthèse spectrale.
b) Si G est discret, toute fonction f ∈ L
2 (G) vérifie la condition de synthèse
spectrale.
17) Pour tout p 1, on identifie L
p (R + ) à un sous-espace fermé de L
p (R).
Soit f ∈ L
1 (R + ) la fonction définie par f (x) = 2e
−x pour x ∈ R + , et soit
g ∈ L
1 (R) la fonction telle que g(x) = f (−x).
a) Montrer que f + g = f ∗ g.
b) Soit A (resp. B) la sous-algèbre de L
1 (R) engendrée par f (resp. par f
et g). Montrer que A est dense dans L
1 (R + ). (Soit h ∈ L
∞ (R + ) tel que
h, f
∗n = 0 pour tout entier n 1, où f
∗n est la convolution itérée n fois de
f ; montrer que la transformée de Laplace
F(z) =
+∞
0
e
−xz h(x)dx,
définie pour tout z ∈ C tel que R(z) > 0, est nulle.) Déduire que B est dense
dans L
1 (R).
c) Soit C une sous-algèbre fermée propre de L
1 (R) contenant A. On a
1 ∈ Sp C (f ). (Montrer que dans le cas contraire, la question a) et le calcul
fonctionnel holomorphe dans C impliqueraient que g ∈ C.)