§ 3
EXERCICES
TS II.315
b) Si f ∈ L
∞ (G), on note A(f ) l’ensemble des éléments de
G qui appartiennent au sous-espace vectoriel faiblement fermé de L
∞ (G) invariant par
translation engendré par f . Si f, g ∈ L
∞ (G), on a
A(f g) ⊂ A(f )A(g).
(Soit U un voisinage de e. Montrer que f g est limite faible de combinaisons
linéaires d’éléments de
G appartenant à A(f )UA(g)U.)
c) Soient g ∈ L
∞ (G), K une partie compacte de
G, f une fonction de L
1 (G)
telle que F (f ) soit nulle sur A = A(g) et hors de K. Pour tout V ∈ B, soit
ω(V) la borne supérieure de |F (f )| sur AV. Si
lim inf
B
ω(V)
2 µ((AV A) ∩ K)
µ(V)
= 0,
alors f, g = 0. (Soit ε > 0. Il existe une partie compacte H de G telle que
G H
|f |dx ε. Puis il existe un voisinage ouvert U de e dans
G tel que
||x,
x − 1| ε pour x ∈ H,
x ∈ U. Appliquant a) à
G et U, on obtient une
fonction a ∈ L
1 (
G). Soit b = F (a) ∈ L
1 (G). Utilisant b), montrer que F (bg)
s’annule hors de AU. D’autre part,
G
f g dx −
G
f gb dx
ε(f 1 + 2)g ∞
et, comme f, gb ∈ L
2 (G),
G
f gb dx =
G
F (f )F (gb)d x =
(AU A)∩K
F (f )F (gb)d x.
Majorer cette dernière expression par :
2g ∞
ω(U)
µ((AU A) ∩ K)
µ(U)
pour conclure.)
d) Soient I un idéal fermé de L
1 (G), A = V(I), f une fonction de L
1 (G)
telle que F (f ) s’annule sur A, S l’ensemble des points où s’annule F (f ), S
la frontière de S, B le plus grand ensemble parfait contenu dans S ∩ A. Pour
V ∈ B, soit ω(V) la borne supérieure de |F (f )| sur AV. On suppose que tout
point de B possède un voisinage K dans
G tel que
lim inf
B
ω(V)
2 µ((AV A) ∩ K)
µ(V)
= 0.
Alors f ∈ I. (Utiliser le fait que L
1 (G) vérifie la condition de Ditkin, et raisonner comme dans la prop 5 de I, p. 94 ; soit G
=
G ∪ {∞} le compactifié
d’Alexandroff de
G, et soit N l’ensemble des χ ∈ G
tels que F (f ) n’appartienne pas à F (I) au voisinage de χ. Montrer d’abord que N ⊂ B ∪ {∞}.
Puis, utilisant c), montrer que N ⊂ {∞}. Enfin, montrer que N = ∅.)
EXERCICES
TS II.315
b) Si f ∈ L
∞ (G), on note A(f ) l’ensemble des éléments de
G qui appartiennent au sous-espace vectoriel faiblement fermé de L
∞ (G) invariant par
translation engendré par f . Si f, g ∈ L
∞ (G), on a
A(f g) ⊂ A(f )A(g).
(Soit U un voisinage de e. Montrer que f g est limite faible de combinaisons
linéaires d’éléments de
G appartenant à A(f )UA(g)U.)
c) Soient g ∈ L
∞ (G), K une partie compacte de
G, f une fonction de L
1 (G)
telle que F (f ) soit nulle sur A = A(g) et hors de K. Pour tout V ∈ B, soit
ω(V) la borne supérieure de |F (f )| sur AV. Si
lim inf
B
ω(V)
2 µ((AV A) ∩ K)
µ(V)
= 0,
alors f, g = 0. (Soit ε > 0. Il existe une partie compacte H de G telle que
G H
|f |dx ε. Puis il existe un voisinage ouvert U de e dans
G tel que
||x,
x − 1| ε pour x ∈ H,
x ∈ U. Appliquant a) à
G et U, on obtient une
fonction a ∈ L
1 (
G). Soit b = F (a) ∈ L
1 (G). Utilisant b), montrer que F (bg)
s’annule hors de AU. D’autre part,
G
f g dx −
G
f gb dx
ε(f 1 + 2)g ∞
et, comme f, gb ∈ L
2 (G),
G
f gb dx =
G
F (f )F (gb)d x =
(AU A)∩K
F (f )F (gb)d x.
Majorer cette dernière expression par :
2g ∞
ω(U)
µ((AU A) ∩ K)
µ(U)
pour conclure.)
d) Soient I un idéal fermé de L
1 (G), A = V(I), f une fonction de L
1 (G)
telle que F (f ) s’annule sur A, S l’ensemble des points où s’annule F (f ), S
la frontière de S, B le plus grand ensemble parfait contenu dans S ∩ A. Pour
V ∈ B, soit ω(V) la borne supérieure de |F (f )| sur AV. On suppose que tout
point de B possède un voisinage K dans
G tel que
lim inf
B
ω(V)
2 µ((AV A) ∩ K)
µ(V)
= 0.
Alors f ∈ I. (Utiliser le fait que L
1 (G) vérifie la condition de Ditkin, et raisonner comme dans la prop 5 de I, p. 94 ; soit G
=
G ∪ {∞} le compactifié
d’Alexandroff de
G, et soit N l’ensemble des χ ∈ G
tels que F (f ) n’appartienne pas à F (I) au voisinage de χ. Montrer d’abord que N ⊂ B ∪ {∞}.
Puis, utilisant c), montrer que N ⊂ {∞}. Enfin, montrer que N = ∅.)