TS II.314
EXERCICES
§ 3
12) Soit J l’ensemble des f ∈ S (R
3 ) telles que F (f ) s’annule sur la
sphère S 2 . Soit I l’ensemble des f ∈ J telles que (∂/∂y 1 )(F (f )) s’annule
sur S 2 . Soient I et J les adhérences de I et J dans L
1 (R
3 ). Alors on a
V(I) = V(J) = S 2 , mais I = J. (Soit µ la mesure positive de masse 1 sur S 2
invariante par le groupe orthogonal de R
3 ; montrer à l’aide de l’exercice 20
de II, p. 269, c) que f (t) = t 1 F (µ)(t) est un élément de L
∞ (R
3 ) orthogonal
à I mais pas à J.)
13) On appelle C-ensemble dans
G une partie fermée E de
G possédant la
propriété suivante : si f ∈ L
1 (G), si F (f ) s’annule sur E, et si ε > 0, il existe
une fonction g ∈ L
1 (G) telle que f − f ∗ g ε et telle que Supp(F (g))
soit compact et disjoint de E.
a) Si E est un C-ensemble dans
G, il n’existe qu’un idéal fermé I de L
1 (G)
tel que V(I) = E.
b) Tout ensemble
G réduit à un élément est un C-ensemble.
c) La réunion de deux C-ensembles est un C-ensemble.
d) Tout ensemble déduit par translation d’un C-ensemble est un Censemble.
e) Soient H un sous-groupe fermé de
G, E une partie fermée de H, E
la
frontière de E relativement à H. Si E
est un C-ensemble relativement à
G,
alors E est un C-ensemble relativement à
G. (Utiliser l’exerc. 21 de II, p. 270.)
f ) Dans R
n , toute intersection E d’un nombre fini de demi-espaces fermés
est un C-ensemble. (Raisonner par récurrence sur la dimension du sous-espace
affine engendré par E, en utilisant b), c), d), e).)
14) Soit E une partie fermée de R
n . On suppose qu’il existe un point intérieur p de E tel que toute droite passant par p rencontre la frontière de E en
deux points au plus. Alors il n’existe qu’un idéal fermé I de L
1 (R
n ) tel que
F (f ) s’annule sur E. (Considérer f comme limite dans L
1 (R
n ) de fonctions
déduites de f par des homothéties de centre p).
¶ 15) On note µ une mesure de Haar de G et B le filtre des voisinages de e
dans
G.
a) Soit U un voisinage ouvert intégrable de e dans G. Il existe une fonction
a ∈ L
1 (G), a 0, d’intégrale 1, nulle hors de U, telle que F (a) ∈ L
1 (
G), et
G
a(x)
2 dx
2
µ(U)
.
(Soit V un voisinage compact de e tel que V ⊂ U, µ(U) <
√
2µ(V) ; soit W
un voisinage compact symétrique de e tel que VW
2 ⊂ U ; prendre a = λf ∗ g,
où λ est une constante > 0, et où f, g sont les fonctions caractéristiques des
ensembles VW et W.)
EXERCICES
§ 3
12) Soit J l’ensemble des f ∈ S (R
3 ) telles que F (f ) s’annule sur la
sphère S 2 . Soit I l’ensemble des f ∈ J telles que (∂/∂y 1 )(F (f )) s’annule
sur S 2 . Soient I et J les adhérences de I et J dans L
1 (R
3 ). Alors on a
V(I) = V(J) = S 2 , mais I = J. (Soit µ la mesure positive de masse 1 sur S 2
invariante par le groupe orthogonal de R
3 ; montrer à l’aide de l’exercice 20
de II, p. 269, c) que f (t) = t 1 F (µ)(t) est un élément de L
∞ (R
3 ) orthogonal
à I mais pas à J.)
13) On appelle C-ensemble dans
G une partie fermée E de
G possédant la
propriété suivante : si f ∈ L
1 (G), si F (f ) s’annule sur E, et si ε > 0, il existe
une fonction g ∈ L
1 (G) telle que f − f ∗ g ε et telle que Supp(F (g))
soit compact et disjoint de E.
a) Si E est un C-ensemble dans
G, il n’existe qu’un idéal fermé I de L
1 (G)
tel que V(I) = E.
b) Tout ensemble
G réduit à un élément est un C-ensemble.
c) La réunion de deux C-ensembles est un C-ensemble.
d) Tout ensemble déduit par translation d’un C-ensemble est un Censemble.
e) Soient H un sous-groupe fermé de
G, E une partie fermée de H, E
la
frontière de E relativement à H. Si E
est un C-ensemble relativement à
G,
alors E est un C-ensemble relativement à
G. (Utiliser l’exerc. 21 de II, p. 270.)
f ) Dans R
n , toute intersection E d’un nombre fini de demi-espaces fermés
est un C-ensemble. (Raisonner par récurrence sur la dimension du sous-espace
affine engendré par E, en utilisant b), c), d), e).)
14) Soit E une partie fermée de R
n . On suppose qu’il existe un point intérieur p de E tel que toute droite passant par p rencontre la frontière de E en
deux points au plus. Alors il n’existe qu’un idéal fermé I de L
1 (R
n ) tel que
F (f ) s’annule sur E. (Considérer f comme limite dans L
1 (R
n ) de fonctions
déduites de f par des homothéties de centre p).
¶ 15) On note µ une mesure de Haar de G et B le filtre des voisinages de e
dans
G.
a) Soit U un voisinage ouvert intégrable de e dans G. Il existe une fonction
a ∈ L
1 (G), a 0, d’intégrale 1, nulle hors de U, telle que F (a) ∈ L
1 (
G), et
G
a(x)
2 dx
2
µ(U)
.
(Soit V un voisinage compact de e tel que V ⊂ U, µ(U) <
√
2µ(V) ; soit W
un voisinage compact symétrique de e tel que VW
2 ⊂ U ; prendre a = λf ∗ g,
où λ est une constante > 0, et où f, g sont les fonctions caractéristiques des
ensembles VW et W.)