§ 3
EXERCICES
TS II.313
b) On a
lim
x→+∞
ψ(x)
x
= 1.
(Utiliser l’exercice 16 de II, p. 266 et l’exercice 9).
c) Soit π(x) le nombre de nombres premiers x. Montrer que
π(x) ∼
x
log(x)
quand x → +∞ (« théorème des nombres premiers », dû à Hadamard et de
la Vallée Poussin).
11) On définit la fonction de Möbius µ sur N
∗ par µ(n) = (−1)
k si n est le
produit de k facteurs premiers deux à deux distincts et µ(n) = 0 dans le cas
contraire.
Pour x > 0 on pose
M(x) =
nx
µ(n),
f (x) =
M(x)
x
.
a) Montrer que pour R(s) > 1, on a
n1
µ(n)n
−s =
1
ζ(s)
.
b) Montrer que f est bornée, et que f (y) − f (x) = O((y − x)/x) pour
y x 1, de sorte que f est lentement oscillante sur le groupe R
∗
+ quand x
tend vers +∞.
c) Soient a, b ∈ R
∗
+ . Pour x > 0, soit [x] la partie entière de x. On pose
g 0 (t) = [t
−1 ] pour t ∈ R
∗
+ et
g(t) = 2g 0 (t) − ag 0 (at) − bg 0 (bt).
La fonction g est intégrable sur R
∗
+ pour la mesure de Lebesgue. Si s ∈ C et
R(s) > 0, on a
+∞
0
g(t)t
s dt = (2 − a
−s − b
−s )
ζ(1 + s)
1 + s
.
d) On a
+∞
0
g(t)t
ix dt = 0 pour tout x ∈ R. (Utiliser la partie j) de l’exercice 16 de II, p. 266.)
e) Montrer que
+∞
0
g(t/x)f (t)dt = o(x) quand x → +∞. En déduire que
M(x) = o(x) quand x → +∞.
(On peut montrer de manière élémentaire que ce résultat équivaut au
théorème des nombres premiers, cf. exercice 10 ; voir par exemple H. Iwaniec
et E. Kowalski, Analytic number theory, A.M.S Coll. Publ. 53 (2004), p. 31–
32.)