TS II.312
EXERCICES
§ 3
(« transformée de Laplace de ϕ »).
Supposons qu’il existe A ∈ C avec la propriété suivante : lorsque σ tend
vers 1 par valeurs > 1, la fonction
t → f (σ + iτ ) −
A
σ + iτ − 1
τ ∈ R
converge uniformément vers une fonction g sur toute partie compacte de R.
Alors
lim
t→+∞
ϕ(t)e
−t = A
(« théorème taubérien de Ikehara »).
(On pose a(t) = e
−t ϕ(t) pour t > 0, a(t) = 0 pour t 0, A(t) = A pour
t > 0, A(t) = 0 pour t 0. Soit λ > 0. On pose :
k λ (t) = λ
2
π
sin 2λt
2λt
2
K λ (t) =
1 −
t
2λ
si |t| 2λ
0
si |t| > 2λ.
Utilisant l’exerc. 1 de II, p. 262, le th. de Lebesgue–Fubini et le th. de Plancherel, montrer que :
lim
ε→0
1
√
2π
+∞
−∞
k λ (x − t)(a(t) − A(t))e
−εt dt =
1
√
2π
2λ
−2λ
K λ (y)e
−ixy g(y)dy
et en déduire que
lim
x→+∞
1
√
2π
+∞
−∞
k λ (x − t)a(t)dt = A.
Prouver ensuite que a est bornée et lentement décroissante. On peut enfin
appliquer l’exerc. 6.)
10) On définit la fonction de von Mangoldt sur N
∗ par Λ(n) = 0 si n n’est
pas de la forme p
k où p est premier et k 1, et Λ(p
k ) = log(p).
On note ζ la fonction holomorphe sur C {1} dont la restriction à l’ensemble des s ∈ C tels que R(s) > 1 coïncide avec la fonction zêta de Riemann
(exercice 16 de II, p. 266).
Pour x > 0 on pose
ψ(x) =
1nx
Λ(n).
a) Montrer que pour tout s ∈ C tel que R(s) > 1, on a
n1
Λ(n)n
−s = −
ζ
(s)
ζ(s)
.
EXERCICES
§ 3
(« transformée de Laplace de ϕ »).
Supposons qu’il existe A ∈ C avec la propriété suivante : lorsque σ tend
vers 1 par valeurs > 1, la fonction
t → f (σ + iτ ) −
A
σ + iτ − 1
τ ∈ R
converge uniformément vers une fonction g sur toute partie compacte de R.
Alors
lim
t→+∞
ϕ(t)e
−t = A
(« théorème taubérien de Ikehara »).
(On pose a(t) = e
−t ϕ(t) pour t > 0, a(t) = 0 pour t 0, A(t) = A pour
t > 0, A(t) = 0 pour t 0. Soit λ > 0. On pose :
k λ (t) = λ
2
π
sin 2λt
2λt
2
K λ (t) =
1 −
t
2λ
si |t| 2λ
0
si |t| > 2λ.
Utilisant l’exerc. 1 de II, p. 262, le th. de Lebesgue–Fubini et le th. de Plancherel, montrer que :
lim
ε→0
1
√
2π
+∞
−∞
k λ (x − t)(a(t) − A(t))e
−εt dt =
1
√
2π
2λ
−2λ
K λ (y)e
−ixy g(y)dy
et en déduire que
lim
x→+∞
1
√
2π
+∞
−∞
k λ (x − t)a(t)dt = A.
Prouver ensuite que a est bornée et lentement décroissante. On peut enfin
appliquer l’exerc. 6.)
10) On définit la fonction de von Mangoldt sur N
∗ par Λ(n) = 0 si n n’est
pas de la forme p
k où p est premier et k 1, et Λ(p
k ) = log(p).
On note ζ la fonction holomorphe sur C {1} dont la restriction à l’ensemble des s ∈ C tels que R(s) > 1 coïncide avec la fonction zêta de Riemann
(exercice 16 de II, p. 266).
Pour x > 0 on pose
ψ(x) =
1nx
Λ(n).
a) Montrer que pour tout s ∈ C tel que R(s) > 1, on a
n1
Λ(n)n
−s = −
ζ
(s)
ζ(s)
.