§ 3
EXERCICES
TS II.311
suppose que f est lentement décroissante, c’est-à-dire que pour y > x tel que
y − x tend vers 0 et x → +∞, on a
lim inf(f (y) − f (x)) 0.
Si (g ∗f )(x) tend vers quand x tend vers +∞, alors f (x) tend vers quand x
tend vers +∞.
7) Soit g : R → C une fonction continue telle que :
+∞
n=−∞
sup
ntn+1
|g(t)| < +∞.
a) On a g ∈ L
1 (R).
b) Supposons que g soit d’intégrale 1 et que F (g) ne s’annule pas. Soit
µ une mesure complexe sur R telle que |µ|([x, x + 1]) soit borné quand x
parcourt R. Si (g ∗ µ)(x) tend vers quand x tend vers +∞, alors, pour
toute fonction continue h : R → C telle que
+∞
n=−∞
sup
ntn+1
|h(t)| < +∞,
d’intégrale 1, la limite de (h ∗ µ)(x) quand x tend vers +∞ est égale à .
(Montrer que h ∗ µ est lentement oscillante et que (g ∗ (h ∗ µ))(x) tend vers
quand x tend vers +∞.)
8) Soit g une fonction vérifiant les hypothèses de l’exerc. 3. En outre, on
suppose g 0 et lim inf x→0 g(x) > 0. Soit f une fonction réelle mesurable
minorée sur ]0, +∞[. Si
lim
x→+∞
1
x
+∞
0
g
t
x
f (t)dt =
alors
σ(x) =
1
x
x
0
f (t)dt
tend vers quand x tend vers +∞. (Montrer que σ est bornée pour x 1,
puis que σ est lentement décroissante, puis que
1
x
+∞
0
g
t
x
σ(t)dt
tend vers quand x tend vers +∞.)
9) Soit ϕ : [0, +∞[→ R une fonction 0 croissante, telle que la fonction
t → e
−σt ϕ(t) soit intégrable pour la mesure de Lebesgue lorsque σ > 1. Pour
tout s ∈ C tel que R(s) > 1, on pose
f (s) =
+∞
0
e
−st ϕ(t)dt