TS II.310
EXERCICES
§ 3
de Fourier d’une fonction de la forme h ∗ h
avec h ∈ K (
G), h
∈ K (
G), et
où h ∗ h
= 1 sur K.)
3) Soit g une fonction complexe définie sur ]0, +∞[, intégrable pour la mesure de Lebesgue. On suppose que
+∞
0
g(t)dt = 1 et que
+∞
0
g(t)t
ix dt = 0
pour tout x ∈ R. Soit f une fonction complexe mesurable et bornée dans
]0, +∞[, telle que
1
x
+∞
0
g(t/x)f (t)dt tende vers une limite finie quand x
tend vers +∞.
a) Pour toute fonction complexe h définie sur ]0, +∞[, intégrable pour la
mesure de Lebesgue et d’intégrale 1, on a
lim
x→+∞
1
x
+∞
0
h
t
x
f (t)dt = .
En particulier,
lim
x→+∞
1
x
x
0
f (t)dt = .
(Posant g 1 (t) = tg(t), h 1 (t) = th(t), on a g 1 ∈ L
1 (R
∗
+ ) ; la transformée de
Fourier F (g 1 ) ne s’annule pas et ˘
g 1 ∗ f tend vers , donc h 1 ∗ f tend vers .)
b) Si f (t) est lentement oscillante sur R
∗
+ quand t tend vers +∞, alors f
tend vers quand t tend vers +∞.
4) Soit G = R. Pour tout nombre réel α > 1, on définit f α ∈ L
1 (R) par
f α (x) =







2 si 0 < x < 1
1 si 1 x < α
0 sinon.
a) Les fonctions f ∗ ε x pour x ∈ R forment un ensemble total dans L
1 (R)
si et seulement si α est irrationnel.
b) Les fonctions f ∗ ε x pour x ∈ R forment un ensemble total dans L
2 (R).
5) Soient f ∈ L
∞ ([0, +∞([) et k ∈ R
∗
+ . Si
lim
x→+∞
1
x
+∞
0
e
−t/x f (t)dt =
alors
lim
x→+∞
k
x k
x
0
(x − t)
k−1 f (t)dt =
(Utiliser les fonctions g(t) = e
−t , et h(t) = k(1 − t)
k−1 pour 0 t 1,
h(t) = 0 pour t > 1.)
6) Soient f : R → R et g : R → C deux fonctions. On suppose que f ∈
L
∞ (R) et que g ∈ L
1 (R),
R
g(x)dx = 1 et que F (g) ne s’annule pas. On