§ 3
EXERCICES
TS II.309
On suppose qu’il existe ∈ C tel que
lim
x∈R+
x<1
ϕ(x) = .
Pour t ∈ R
∗
+ , on pose
g(t) =
0nt −1
a n , F(t) = ϕ(e
−t ).
On note dx la mesure de Lebesgue sur R ainsi que sa restriction à R
∗
+ .
a) Soient s t des éléments de R
∗
+ . On a
|g(s) − g(t)| |a [t −1 +1] | + A log
t
s
.
b) La fonction g est lentement oscillante pour t → 0.
c) Pour tout t ∈ R
∗
+ , la fonction x → g(t/x)xe
−x est intégrable sur R
∗
+ ,
par rapport à la mesure de Haar x
−1 dx.
d) Pour 0 < x < 1, on a
ϕ(x) =
n0
g
1
n
(x
n − x
n+1 ).
e) Soit f (x) = xe
−x pour x ∈ R
∗
+ . On a f ∈ L
1 (R
∗
+ , dx/x) ; son intégrale
est égale à 1, et on a F = g ∗ f .
f ) La fonction g appartient à L
∞ (R
∗
+ ). (Montrer que F − g est bornée en
utilisant a) ainsi que l’hypothèse.)
g) La transformée de Fourier de la fonction f sur le groupe R
∗
+ ne s’annule
pas. (Identifier F (f ) à la fonction y → Γ(1 + iy) et utiliser FVR, VII.)
h) On a
+∞
n=0
a n = .
Cet énoncé est le théorème « taubérien » de Littlewood. L’hypothèse concernant la suite (a n ), c’est-à-dire a n = O(1/n), peut d’ailleurs être affaiblie :
il suffit qu’il existe une constante A 0 telle que na n −A pour tout entier n 1 (« théorème taubérien de Hardy–Littlewood », voir par exemple J.
Korevaar, Tauberian theory, Grundlehren math. wiss. 329, Springer (2004),
th. 7.4, p. 16 ; le lecteur prendra soin de ne pas confondre ce théorème avec
celui de FVR, I, p. 50, exercice 18).
2) Soient F une partie fermée de
G et K une partie compacte de
G telles que
F ∩ K = ∅. Montrer qu’il existe une fonction continue g intégrable sur G telle
que F (g) soit égale à 0 sur F et à 1 sur K. (Soit f ∈ L
1 (G) telle que F (f )
est nulle sur F et égale à 1 sur K ; considérer f ∗ ϕ, où ϕ est la transformée
EXERCICES
TS II.309
On suppose qu’il existe ∈ C tel que
lim
x∈R+
x<1
ϕ(x) = .
Pour t ∈ R
∗
+ , on pose
g(t) =
0nt −1
a n , F(t) = ϕ(e
−t ).
On note dx la mesure de Lebesgue sur R ainsi que sa restriction à R
∗
+ .
a) Soient s t des éléments de R
∗
+ . On a
|g(s) − g(t)| |a [t −1 +1] | + A log
t
s
.
b) La fonction g est lentement oscillante pour t → 0.
c) Pour tout t ∈ R
∗
+ , la fonction x → g(t/x)xe
−x est intégrable sur R
∗
+ ,
par rapport à la mesure de Haar x
−1 dx.
d) Pour 0 < x < 1, on a
ϕ(x) =
n0
g
1
n
(x
n − x
n+1 ).
e) Soit f (x) = xe
−x pour x ∈ R
∗
+ . On a f ∈ L
1 (R
∗
+ , dx/x) ; son intégrale
est égale à 1, et on a F = g ∗ f .
f ) La fonction g appartient à L
∞ (R
∗
+ ). (Montrer que F − g est bornée en
utilisant a) ainsi que l’hypothèse.)
g) La transformée de Fourier de la fonction f sur le groupe R
∗
+ ne s’annule
pas. (Identifier F (f ) à la fonction y → Γ(1 + iy) et utiliser FVR, VII.)
h) On a
+∞
n=0
a n = .
Cet énoncé est le théorème « taubérien » de Littlewood. L’hypothèse concernant la suite (a n ), c’est-à-dire a n = O(1/n), peut d’ailleurs être affaiblie :
il suffit qu’il existe une constante A 0 telle que na n −A pour tout entier n 1 (« théorème taubérien de Hardy–Littlewood », voir par exemple J.
Korevaar, Tauberian theory, Grundlehren math. wiss. 329, Springer (2004),
th. 7.4, p. 16 ; le lecteur prendra soin de ne pas confondre ce théorème avec
celui de FVR, I, p. 50, exercice 18).
2) Soient F une partie fermée de
G et K une partie compacte de
G telles que
F ∩ K = ∅. Montrer qu’il existe une fonction continue g intégrable sur G telle
que F (g) soit égale à 0 sur F et à 1 sur K. (Soit f ∈ L
1 (G) telle que F (f )
est nulle sur F et égale à 1 sur K ; considérer f ∗ ϕ, où ϕ est la transformée