TS II.308
EXERCICES
§ 2
un ensemble I tels que A soit isomorphe à R
n × T
I . (Prenant G = R, H = Z,
on voit que A est connexe, donc de la forme R
n ×
D avec D discret. Montrer
que D est un Z-module projectif, donc libre.)
13) Soient C une partie compacte de G et ε > 0.
a) Soit α la mesure de Haar de G. Il existe une partie compacte D de G
telle que α(CD) (1 + ε)α(D). (Le cas où G = R
n étant immédiat, on est
ramené au cas où G admet un sous-groupe ouvert compact H, et on peut
supposer C saturé suivant H ; on est alors ramené au cas où G est discret ;
on peut ensuite supposer G de type fini, et enfin G = Z
p .)
b) Il existe k ∈ L
1 (
G) telle que F (k) ∈ K (G) vérifiant F (k)(x) = 1
pour x ∈ C, et k 1 1 + ε. (Prendre k de la forme λf g, où λ est une
constante et où f, g ∈ L
2 (
G) ont pour transformées de Fourier les fonctions
caractéristiques d’ensembles convenables, en utilisant a).)
¶ 14) a) On suppose que tout voisinage de e dans G contient un élément
d’ordre infini. Il existe une partie compacte métrique parfaite totalement
discontinue P de G qui est un ensemble de Kronecker (exercice 15 de II,
p. 265), et une mesure diffuse non nulle concentrée sur P. (Se ramener au cas
où G est métrisable en utilisant l’exerc. 3, c). Imiter ensuite la construction de
TG, IX, p. 64, lemme 3, et utiliser en même temps la partie e) de l’exerc. 15
de II, p. 265.)
b) Si G = (Z/qZ)
N , il existe une partie compacte parfaite totalement discontinue P de G qui est de type K q , et une mesure diffuse non nulle concentrée
sur P.
c) On suppose G non discret. Il existe un élément τ de M
1 (G) tel que
F (τ ) ∞ < <(τ ), où (τ ) est le rayon spectral dans M
1 (G). Il existe un
élément non inversible τ
de M
1 (G) tel que F (τ
) 1 partout sur
G. Il
existe un caractère non hermitien de M
1 (G). (Utiliser a), b), l’exerc. 3, c),
et la partie f ) de l’exerc. 15 de II, p. 265.)
d) Déduire de c) que
G, qui est ouvert dans X(M
1 (G)), n’est pas dense
dans X(M
1 (G)).
§ 3
1) Soit (a n ) n∈N une suite de nombres complexes telle qu’il existe un réel
A 0 vérifiant n|a n | A pour tout n ∈ N. Pour z ∈ C de module < 1,
posons ϕ(z) =
n0 a n z
n .
EXERCICES
§ 2
un ensemble I tels que A soit isomorphe à R
n × T
I . (Prenant G = R, H = Z,
on voit que A est connexe, donc de la forme R
n ×
D avec D discret. Montrer
que D est un Z-module projectif, donc libre.)
13) Soient C une partie compacte de G et ε > 0.
a) Soit α la mesure de Haar de G. Il existe une partie compacte D de G
telle que α(CD) (1 + ε)α(D). (Le cas où G = R
n étant immédiat, on est
ramené au cas où G admet un sous-groupe ouvert compact H, et on peut
supposer C saturé suivant H ; on est alors ramené au cas où G est discret ;
on peut ensuite supposer G de type fini, et enfin G = Z
p .)
b) Il existe k ∈ L
1 (
G) telle que F (k) ∈ K (G) vérifiant F (k)(x) = 1
pour x ∈ C, et k 1 1 + ε. (Prendre k de la forme λf g, où λ est une
constante et où f, g ∈ L
2 (
G) ont pour transformées de Fourier les fonctions
caractéristiques d’ensembles convenables, en utilisant a).)
¶ 14) a) On suppose que tout voisinage de e dans G contient un élément
d’ordre infini. Il existe une partie compacte métrique parfaite totalement
discontinue P de G qui est un ensemble de Kronecker (exercice 15 de II,
p. 265), et une mesure diffuse non nulle concentrée sur P. (Se ramener au cas
où G est métrisable en utilisant l’exerc. 3, c). Imiter ensuite la construction de
TG, IX, p. 64, lemme 3, et utiliser en même temps la partie e) de l’exerc. 15
de II, p. 265.)
b) Si G = (Z/qZ)
N , il existe une partie compacte parfaite totalement discontinue P de G qui est de type K q , et une mesure diffuse non nulle concentrée
sur P.
c) On suppose G non discret. Il existe un élément τ de M
1 (G) tel que
F (τ ) ∞ < <(τ ), où (τ ) est le rayon spectral dans M
1 (G). Il existe un
élément non inversible τ
de M
1 (G) tel que F (τ
) 1 partout sur
G. Il
existe un caractère non hermitien de M
1 (G). (Utiliser a), b), l’exerc. 3, c),
et la partie f ) de l’exerc. 15 de II, p. 265.)
d) Déduire de c) que
G, qui est ouvert dans X(M
1 (G)), n’est pas dense
dans X(M
1 (G)).
§ 3
1) Soit (a n ) n∈N une suite de nombres complexes telle qu’il existe un réel
A 0 vérifiant n|a n | A pour tout n ∈ N. Pour z ∈ C de module < 1,
posons ϕ(z) =
n0 a n z
n .