§ 2
EXERCICES
TS II.307
(ii)
G est isomorphe à un sous-groupe de R muni de la topologie discrète ;
(iii)
G est sans torsion, et Card(
G) c, la puissance du continu ;
(iv) G est quotient de (Σ a )
c avec a = (n + 2) n0 .
e) Si G est compact solénoïdal, alors G est monothétique.
11) On note L(G) l’ensemble des représentations continues de G dans R.
On appelle sous-groupe à un paramètre de G l’image d’un morphisme continu
de R dans G.
a) Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) G est réunion de sous-groupes à un paramètre ;
(ii) tout morphisme de Z dans G se prolonge en un morphisme continu
de R dans G ;
(iii) tout morphisme continu de
G dans R/Z provient par passage au
quotient d’un élément de L(
G) ;
(iv) tout caractère unitaire de
G est de la forme e
iλ où λ ∈ L(
G).
b) Si G est à base dénombrable, les conditions de a) sont équivalentes à :
G est isomorphe à R
n × T
I où I est un ensemble dénombrable.
c) La réunion des sous-groupes à un paramètre de G est un sous-groupe
dense dans la composante neutre de G. (Utiliser l’exerc. 4.)
d) Soit t → χ t une application continue de [0, 1] dans
G telle que χ 0 soit le
caractère trivial. Il existe une application t → λ t de [0, 1] dans L(G) telle que
λ 0 = 0, pour tout t on a χ t = exp(2iπλ t ), et pour tout x ∈ G, l’application
t → λ t (x) est continue.
e) La réunion des sous-groupes à un paramètre de G est aussi la réunion
des arcs de G qui contiennent e, un arc de G étant l’image d’une application
continue de [0, 1] dans G. (Utiliser d).)
12) On emploie la notation L(G) de l’exercice 11.
a) Soit H un sous-groupe fermé de G. Tout élément de L(H) se prolonge
en un élément de L(G). (Se ramener d’abord au cas où G = R
n × D avec D
discret, puis au cas où l’élément donné de L(H) est trivial sur R
n , puis au
cas où G est discret. Utiliser alors le fait que R est divisible.)
b) Tout morphisme continu de H dans R
n × T
I , où I est un ensemble quelconque, se prolonge en un morphisme continu de G dans R
n × T
I . (Utiliser
a) et le th. 4 de II, p. 226.)
c) Réciproquement, soit A un groupe commutatif localement compact. On
suppose que, pour tout groupe commutatif localement compact G, pour tout
sous-groupe fermé H de G, et tout morphisme continu ϕ de H dans A, ϕ se
prolonge en un morphisme continu de G dans A. Alors il existe un entier n et
EXERCICES
TS II.307
(ii)
G est isomorphe à un sous-groupe de R muni de la topologie discrète ;
(iii)
G est sans torsion, et Card(
G) c, la puissance du continu ;
(iv) G est quotient de (Σ a )
c avec a = (n + 2) n0 .
e) Si G est compact solénoïdal, alors G est monothétique.
11) On note L(G) l’ensemble des représentations continues de G dans R.
On appelle sous-groupe à un paramètre de G l’image d’un morphisme continu
de R dans G.
a) Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) G est réunion de sous-groupes à un paramètre ;
(ii) tout morphisme de Z dans G se prolonge en un morphisme continu
de R dans G ;
(iii) tout morphisme continu de
G dans R/Z provient par passage au
quotient d’un élément de L(
G) ;
(iv) tout caractère unitaire de
G est de la forme e
iλ où λ ∈ L(
G).
b) Si G est à base dénombrable, les conditions de a) sont équivalentes à :
G est isomorphe à R
n × T
I où I est un ensemble dénombrable.
c) La réunion des sous-groupes à un paramètre de G est un sous-groupe
dense dans la composante neutre de G. (Utiliser l’exerc. 4.)
d) Soit t → χ t une application continue de [0, 1] dans
G telle que χ 0 soit le
caractère trivial. Il existe une application t → λ t de [0, 1] dans L(G) telle que
λ 0 = 0, pour tout t on a χ t = exp(2iπλ t ), et pour tout x ∈ G, l’application
t → λ t (x) est continue.
e) La réunion des sous-groupes à un paramètre de G est aussi la réunion
des arcs de G qui contiennent e, un arc de G étant l’image d’une application
continue de [0, 1] dans G. (Utiliser d).)
12) On emploie la notation L(G) de l’exercice 11.
a) Soit H un sous-groupe fermé de G. Tout élément de L(H) se prolonge
en un élément de L(G). (Se ramener d’abord au cas où G = R
n × D avec D
discret, puis au cas où l’élément donné de L(H) est trivial sur R
n , puis au
cas où G est discret. Utiliser alors le fait que R est divisible.)
b) Tout morphisme continu de H dans R
n × T
I , où I est un ensemble quelconque, se prolonge en un morphisme continu de G dans R
n × T
I . (Utiliser
a) et le th. 4 de II, p. 226.)
c) Réciproquement, soit A un groupe commutatif localement compact. On
suppose que, pour tout groupe commutatif localement compact G, pour tout
sous-groupe fermé H de G, et tout morphisme continu ϕ de H dans A, ϕ se
prolonge en un morphisme continu de G dans A. Alors il existe un entier n et