TS II.306
EXERCICES
§ 2
7) Un élément x de G est dit de hauteur infinie si, pour tout n ∈ Z, il existe
y ∈ G tel que y
n = x. Prouver que, si G est compact, l’ensemble des éléments
de hauteur infinie est la composante neutre de G.
¶ 8) Le groupe G est localement connexe si et seulement si G est isomorphe
à un groupe R
n × E ×
D, où E et D sont discrets et où tout sous-groupe de
rang fini de D est libre.
9) a) Soit a = (a n ) n0 une suite d’entiers > 1. On munit Z de la structure
d’anneau topologique pour laquelle les sous-ensembles Za 0 a 1 · · · a n , où n 0,
forment un système fondamental de voisinages de 0. On note ∆ a le complété
de cet anneau. Il est compact, métrisable et totalement discontinu. Si p est
un nombre premier, et si a i = p pour tout i, on a ∆ a = Z p .
b) On note Z(a
∞ ) le groupe multiplicatif des nombres complexes de la forme
exp(2iπl/(a 0 a 1 · · · a r )) où l ∈ Z et r ∈ N, muni de la topologie discrète. Alors
χ → χ(1) est un isomorphisme de
∆ a sur Z(a
∞ ).
c) Soit B le sous-groupe de R × ∆ a formé des (n, n) pour n ∈ Z ; il est
discret. On pose Σ a = (R × ∆ a )/B. C’est un groupe compact métrisable
connexe. (Observer que l’image canonique de R dans Σ a est dense, et utiliser
le lemme 1 de II, p. 244.)
d) Soit Γ a le sous-groupe additif du groupe discret Q formé des nombres
rationnels de la forme l/(a 0 a 1 · · · a r ) où l ∈ Z et r ∈ N. Si χ ∈
Σ a , alors χ
définit un caractère unitaire de R × ∆ a , donc un caractère unitaire de R de
la forme x → exp(2iπα χ x) où α χ ∈ R. Alors χ → α χ est un isomorphisme
de
Σ a sur Γ a .
e) Montrer que
Q est canoniquement isomorphe à Σ a , où la suite a est
définie par a n = n + 2 pour tout n 0.
f ) Soit R d le groupe R muni de la topologie discrète. Montrer que
R d
est isomorphe à (
Σ a )
c où a n = n + 2 et où c est la puissance du continu.
(Considérer une base de R comme Q-espace vectoriel.)
¶ 10) Un groupe topologique est dit monothétique s’il existe un élément du
groupe dont les puissances sont denses dans le groupe, et solénoïdal s’il existe
un morphisme continu de R dans le groupe dont l’image est dense.
a) Avec les notations de l’exerc. 9, le groupe ∆ a est monothétique.
b) Tout groupe compact monothétique totalement discontinu est topologiquement isomorphe à un groupe de la forme ∆ a .
c) Supposons G compact. Pour que G soit monothétique, il faut et il suffit
que
G soit isomorphe à un sous-groupe de T muni de la topologie discrète.
d) Supposons G compact. Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) G est solénoïdal ;
EXERCICES
§ 2
7) Un élément x de G est dit de hauteur infinie si, pour tout n ∈ Z, il existe
y ∈ G tel que y
n = x. Prouver que, si G est compact, l’ensemble des éléments
de hauteur infinie est la composante neutre de G.
¶ 8) Le groupe G est localement connexe si et seulement si G est isomorphe
à un groupe R
n × E ×
D, où E et D sont discrets et où tout sous-groupe de
rang fini de D est libre.
9) a) Soit a = (a n ) n0 une suite d’entiers > 1. On munit Z de la structure
d’anneau topologique pour laquelle les sous-ensembles Za 0 a 1 · · · a n , où n 0,
forment un système fondamental de voisinages de 0. On note ∆ a le complété
de cet anneau. Il est compact, métrisable et totalement discontinu. Si p est
un nombre premier, et si a i = p pour tout i, on a ∆ a = Z p .
b) On note Z(a
∞ ) le groupe multiplicatif des nombres complexes de la forme
exp(2iπl/(a 0 a 1 · · · a r )) où l ∈ Z et r ∈ N, muni de la topologie discrète. Alors
χ → χ(1) est un isomorphisme de
∆ a sur Z(a
∞ ).
c) Soit B le sous-groupe de R × ∆ a formé des (n, n) pour n ∈ Z ; il est
discret. On pose Σ a = (R × ∆ a )/B. C’est un groupe compact métrisable
connexe. (Observer que l’image canonique de R dans Σ a est dense, et utiliser
le lemme 1 de II, p. 244.)
d) Soit Γ a le sous-groupe additif du groupe discret Q formé des nombres
rationnels de la forme l/(a 0 a 1 · · · a r ) où l ∈ Z et r ∈ N. Si χ ∈
Σ a , alors χ
définit un caractère unitaire de R × ∆ a , donc un caractère unitaire de R de
la forme x → exp(2iπα χ x) où α χ ∈ R. Alors χ → α χ est un isomorphisme
de
Σ a sur Γ a .
e) Montrer que
Q est canoniquement isomorphe à Σ a , où la suite a est
définie par a n = n + 2 pour tout n 0.
f ) Soit R d le groupe R muni de la topologie discrète. Montrer que
R d
est isomorphe à (
Σ a )
c où a n = n + 2 et où c est la puissance du continu.
(Considérer une base de R comme Q-espace vectoriel.)
¶ 10) Un groupe topologique est dit monothétique s’il existe un élément du
groupe dont les puissances sont denses dans le groupe, et solénoïdal s’il existe
un morphisme continu de R dans le groupe dont l’image est dense.
a) Avec les notations de l’exerc. 9, le groupe ∆ a est monothétique.
b) Tout groupe compact monothétique totalement discontinu est topologiquement isomorphe à un groupe de la forme ∆ a .
c) Supposons G compact. Pour que G soit monothétique, il faut et il suffit
que
G soit isomorphe à un sous-groupe de T muni de la topologie discrète.
d) Supposons G compact. Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) G est solénoïdal ;