§ 2
EXERCICES
TS II.305
b) Pour que G soit dénombrable à l’infini, il faut et il suffit que
G admette
un sous-groupe ouvert à base dénombrable, ou encore que
G soit métrisable.
(Utiliser la prop. 3 de II, p. 248.)
c) Supposons G compact. Pour que G soit métrisable, il faut et il suffit que
G
soit dénombrable, ou encore que G soit isomorphe à un sous-groupe fermé
de T
N . (Un groupe commutatif discret dénombrable est quotient de Z
(N) .)
2) a) Tout groupe commutatif infini Γ admet un groupe quotient infini
dénombrable. (Plonger un sous-groupe infini dénombrable ∆ de Γ dans un
groupe divisible dénombrable ∆
en appliquant A, II, p. 185, exerc. 14 ; puis
prolonger à Γ le morphisme identique de ∆ dans ∆
.)
b) Tout groupe commutatif compact infini contient un sous-groupe fermé
infini métrisable. (Utiliser a).)
3) a) Soient K un groupe compact et K (n) l’ensemble des éléments d’ordre
n de K. Si K = E n pour tout n, alors l’ensemble des éléments d’ordre infini
de K est dense dans K. (Si K (n) est d’intérieur non vide, on a K (m) = K pour
un entier m n.)
b) Soit Γ un groupe discret commutatif dont les éléments ne sont pas d’ordre
borné. Alors Γ admet un quotient dénombrable avec la même propriété. (Raisonner comme dans la partie a) de l’exercice 2.)
c) Si tout voisinage de e dans G contient un élément d’ordre infini, alors G
possède un sous-groupe fermé métrisable avec la même propriété. (Se ramener
au cas où G est compact, et utiliser a) et b).) Sinon, et si G n’est pas discret,
il existe un entier q > 1 tel que G contienne un sous-groupe fermé isomorphe
à (Z/qZ)
N . (Utiliser A, VII, p. 54, exerc. 4, c).)
4) Si G est compact et si
G possède un élément d’ordre infini, alors il existe
un morphisme continu non trivial de R dans G. (Comme R est divisible, il
existe un morphisme non trivial de
G dans R.)
5) Soit p un nombre premier. Le groupe Q p n’est pas produit d’un groupe
compact et d’un groupe discret. (Tout sous-groupe compact de Q p est de la
forme p
n Z p pour un entier n ∈ Z.)
6) Si G est un groupe de torsion, alors G et
G sont totalement discontinus.
(
G est totalement discontinu d’après le cor. 2 de II, p. 250 ; pour prouver
que G est totalement discontinu, se ramener au cas où G est compact en
utilisant la prop. 3 de II, p. 248, et prouver alors que
G est un groupe de
torsion.)
EXERCICES
TS II.305
b) Pour que G soit dénombrable à l’infini, il faut et il suffit que
G admette
un sous-groupe ouvert à base dénombrable, ou encore que
G soit métrisable.
(Utiliser la prop. 3 de II, p. 248.)
c) Supposons G compact. Pour que G soit métrisable, il faut et il suffit que
G
soit dénombrable, ou encore que G soit isomorphe à un sous-groupe fermé
de T
N . (Un groupe commutatif discret dénombrable est quotient de Z
(N) .)
2) a) Tout groupe commutatif infini Γ admet un groupe quotient infini
dénombrable. (Plonger un sous-groupe infini dénombrable ∆ de Γ dans un
groupe divisible dénombrable ∆
en appliquant A, II, p. 185, exerc. 14 ; puis
prolonger à Γ le morphisme identique de ∆ dans ∆
.)
b) Tout groupe commutatif compact infini contient un sous-groupe fermé
infini métrisable. (Utiliser a).)
3) a) Soient K un groupe compact et K (n) l’ensemble des éléments d’ordre
n de K. Si K = E n pour tout n, alors l’ensemble des éléments d’ordre infini
de K est dense dans K. (Si K (n) est d’intérieur non vide, on a K (m) = K pour
un entier m n.)
b) Soit Γ un groupe discret commutatif dont les éléments ne sont pas d’ordre
borné. Alors Γ admet un quotient dénombrable avec la même propriété. (Raisonner comme dans la partie a) de l’exercice 2.)
c) Si tout voisinage de e dans G contient un élément d’ordre infini, alors G
possède un sous-groupe fermé métrisable avec la même propriété. (Se ramener
au cas où G est compact, et utiliser a) et b).) Sinon, et si G n’est pas discret,
il existe un entier q > 1 tel que G contienne un sous-groupe fermé isomorphe
à (Z/qZ)
N . (Utiliser A, VII, p. 54, exerc. 4, c).)
4) Si G est compact et si
G possède un élément d’ordre infini, alors il existe
un morphisme continu non trivial de R dans G. (Comme R est divisible, il
existe un morphisme non trivial de
G dans R.)
5) Soit p un nombre premier. Le groupe Q p n’est pas produit d’un groupe
compact et d’un groupe discret. (Tout sous-groupe compact de Q p est de la
forme p
n Z p pour un entier n ∈ Z.)
6) Si G est un groupe de torsion, alors G et
G sont totalement discontinus.
(
G est totalement discontinu d’après le cor. 2 de II, p. 250 ; pour prouver
que G est totalement discontinu, se ramener au cas où G est compact en
utilisant la prop. 3 de II, p. 248, et prouver alors que
G est un groupe de
torsion.)