TS II.304
EXERCICES
§ 1
On suppose que la mesure de Haar sur G est choisie de sorte que le quotient
de la mesure duale dχ sur
G par la mesure de comptage sur Λ est la mesure
de Haar normalisée sur
G/Λ (INT, VII, § 2, n
o 2, déf. 1).
a) Il existe une partie mesurable Ω de
G qui rencontre chaque classe de G
modulo Λ en un point et un seul ; la mesure de Ω est égale à 1.
b) Pour x ∈ G, on pose
ϕ(x) =
Ω
χ(x) dχ.
La fonction ϕ est continue ; elle vérifie ϕ(0) = 1 et ϕ(γ) = 0 pour tout
γ ∈ Γ {0}.
c) Démontrer que ϕ appartient à L
2 (G) et que ϕ 2 = 1. Pour tout γ ∈
Γ {e}, on a
G
ϕ(x)ϕ(γ − x) dx = 0.
d) Soit f ∈ L
2 (G) telle que F (f ) est nulle presque partout hors de Ω.
Démontrer que
f =
γ∈Γ
f (γ)δ γ (ϕ)
dans L
2 (G), où δ γ (ϕ)(x) = ϕ(x − γ). De plus, on a
G
|f (x)|
2 dx =
γ∈Γ
|f (γ)|
2 .
e) Il existe une unique fonction continue sur G qui coïncide presque partout
avec f . Si f est continue, alors
f =
γ∈Γ
f (γ)δ γ (ϕ)
dans C (G).
f ) Spécialiser au cas où G = R et Λ = hZ pour un certain h > 0 en
prenant Ω = [−h, h[.
§ 2
1) a) Pour que G soit à base dénombrable, il faut et il suffit que
G soit
à base dénombrable. (Si G est à base dénombrable, alors L
1 (G) est à base
dénombrable, donc X(L
1 (G)) est à base dénombrable.)