§ 1
EXERCICES
TS II.303
lorsque N → +∞. (Si N est suffisamment grand et si x ∈ R a image dans
T M, il existe des entiers a et q premiers entre eux tels que
P
δ q P
k−δ ,
x −
a
q
1
q 2 .
Utiliser alors l’exercice 66.)
f ) Pour tout nombre premier p et tout entier m 1, posons
A(p
m ) =
p
m
a=1
(a,q)=1
1
p m S(a; p
m )
e
−
aN
p m
et
N(p
m ) = Card({(x 1 , . . . , x ) ∈ (Z/p
m Z)
| x
k
1 + · · · + x
k
= N mod. p
m }).
Lorsque > 2
k , on a
1 +
+∞
m=1
A(p
m ) = lim
m→+∞
N(p
m )
p m(−1) .
g) Lorsque > 2
k , on a S(Q, N) = S(N) + o(1) quand Q → +∞, où
S(N) =
p
1 +
m1
A(p
m )
,
le produit portant sur les nombres premiers étant absolument convergent.
h) Soit p un nombre premier. Soit ν 0 l’entier tel que k = p
ν r où p ne
divise pas r. Notons γ l’entier
γ =
ν + 1 si p 3
ν + 2 sinon.
S’il existe des entiers (n 1 , . . . , n ) tels que p ne divise pas tout les n i et tels
que
x
k
1 + · · · + x
k
≡ 0 mod. p
γ ,
alors
lim
m→+∞
N(p
m )
p m(−1) > 0.
i) Il existe > k tel que, si N est suffisamment grand, alors S(N) > 0.
(Utiliser la question précédente et la question h) de l’exercice 33.)
j) Il existe un entier > k tel que r k,, (N) 1 pour tout entier N 1.
68) On note additivement la loi de groupe de G. Soit Γ un sous-groupe
discret de G tel que G/Γ soit compact. Soit Λ = Γ
⊥ l’orthogonal de Γ dans
G ;
comme
G/Γ s’identifie à Λ, c’est un sous-groupe discret de
G, et
G/Λ est
compact (puisque son dual s’identifie à Γ).