TS II.302
EXERCICES
§ 1
b) Soit δ un nombre réel tel que 0 < δ < 1/3 et soit P = [N
1/k ]. On suppose
que N est suffisamment grand, de sorte que P 1. Soient a et q des entiers
premiers entre eux tels que 1 q P
δ . On note M a,q l’image dans T de
l’intervalle ouvert
a
q
−
1
P k−δ ,
a
q
+
1
P k−δ
.
Pour x ∈ M a,q , on a
P
n=1
e
2iπxn
k
=
1
q
S(a; q)I
x −
a
q
+ O(P
2δ )
lorsque N → +∞, où
S(a; q) =
q
x=1
e
ax
k
q
,
I(y) =
P
0
e(yt
k )dt.
c) On note M la réunion des ensembles M a,q lorsque q parcourt l’ensemble
des entiers tels que 1 q P
δ et a l’ensemble des entiers premiers à q tels
que 1 a < q. Si δ < 1/5, alors il existe un nombre réel δ
> 0 tel que
M
S P (x)
e(−Nx)dx = P
−k S(P
δ , N)J(P
δ ) + O(P
−k−δ
)
lorsque N → +∞, où on pose, pour Q 1
S(Q, N) =
1qQ
q
a=1
(a,q)=1
𚵿 1
q
S(a; q)
𚵿
e
𚵿
−
aN
q
𚵿
J(Q) =
Q
−Q
1
0
e(yt
k )dt
e(−y)dy.
d) On a
J(Q) =
Γ(1 + 1/k)
Γ(/k)
+ O(Q
−(/k−1) )
lorsque Q → +∞. (Montrer d’abord que
J(Q) =
1
k
X
(y 1 · · · y −1 (1 − y 1 − · · · − y −1 ))
−1+1/k dy + O(Q
−(/k−1) )
où
X = {(y 1 , . . . , y −1 ) ∈ (R
∗
+ )
−1 | y 1 + · · · + y −1 < 1},
puis évaluer cette intégrale ; cf. FVR VII, p. 8, prop. 4.)
e) Supposons que > δ
−1 k2
k . Il existe δ
> 0 tel que
T M
|S P (x)|
e(−Nx)dx = O(P
−k−δ
)