§ 1
EXERCICES
TS II.301
Soit d 2 un entier. Soit α ∈ R et soit g ∈ R[X] un polynôme dont le
degré est < d. Soient a et q des entiers premiers entre eux, avec q = 0, tels
que
α −
a
q
1
q 2 .
a) Supposons que α /
∈ Z. Soient N et M des entiers avec M 0. On a
N+M
n=N
e
2iπαn
1
|sin(πα)|
.
b) On note D = 2
d−1 . Pour tout ε > 0, il existe un nombre réel C(ε, d) 0
tel que pour tout entier P 1, on a
P
n=1
e
2iπ(αn
d +g(n))
C(ε, d)P
1+ε
P
−1/D + q
−1/D +
P
d
q
−1/D
.
(Procéder par récurrence sur d en ramenant le carré du terme de gauche
de l’inégalité à une famille de polynômes de degré d − 1 ; lorsque d = 2,
appliquer alors la question a). On pourra démontrer et utiliser la majoration
d(n) = O(n
ε )
lorsque n → +∞, où n 1 et d(n) est le nombre de diviseurs de n dans N,
valide pour tout nombre réel ε > 0.)
c) En déduire une nouvelle preuve de l’assertion de la question c) de l’exercice 35.
¶ 67) Soient k 2 et > k des entiers naturels. Pour tout entier N 1, on
note r k,, (N) le nombre de familles (n 1 , . . . , n ) ∈ N
telles que
n
k
1 + · · · + n
k
= N.
Le but de cet exercice est de démontrer que, si est assez grand en fonction
de k, alors r k,, (N) 1 (« problème de Waring ») pour tout N 1.
On note e : T → C
∗ le caractère défini par passage au quotient par le
caractère x → e
2iπx de R.
Soit P 1 un entier. On note S P la fonction sur T telle que
S P (x) =
P
n=1
e(xn
k ).
On note dx la mesure de Haar normalisée sur T.
a) Si P > N
1/k , alors on a
r k,, (N) =
T
S P (x)
e(−Nx)dx.