TS II.300
EXERCICES
§ 1
groupe topologique sur G telle que la famille des ensembles U Λ est une base
de voisinages ouverts de e.
b) Le groupe topologique G est localement compact.
c) Le groupe G n’est pas divisible.
d) Le groupe dual
G est sans torsion.
64) Soit µ une mesure sur T.
a) Pour tout x ∈ T, on a
µ({x}) = lim
H→+∞
1
2H + 1
|h|H
µ(h)e
2iπhx .
b) Écrivons µ = µ d + µ a , où µ a est une mesure atomique et µ d une mesure
diffuse (INT, V, §5, n
o 10, prop. 15). Soit S le support de µ a . On a
lim
H→+∞
1
2H + 1
|h|H
| µ(h)|
2 =
x∈S
|µ({s})|
2
(considérer (µ ∗
µ)({0})).
c) Supposons que µ est une mesure de probabilité sur T. Les conditions
suivantes sont équivalentes :
(i) Il existe x ∈ T tel que µ = ε x ;
(ii) On a lim |h|→+∞ | µ(h)|
2 = 1 ;
(iii) On a
lim
H→+∞
1
2H + 1
|h|H
| µ(h)|
2 = 1.
65) On suppose que G est compact, muni de sa mesure de Haar normalisée µ. Soit f : G → G un homomorphisme continu et surjectif.
a) On a f (µ) = µ.
b) L’application f est µ-ergodique (cf. exercice 16 de I, p. 190) si et seulement si il n’existe pas de caractère χ = e
G
de G et d’entier n 1 tel que
χ ◦ f
n = χ.
c) Soient d 1 un entier et a une matrice de type (d, d) à coefficients entiers
et de déterminant 1. L’application f a : T
d → T
d telle que f a (x) = ax pour
tout x ∈ T
d est ergodique par rapport à la mesure de Haar normalisée sur T
d
si et seulement si le spectre de la matrice a dans L (C
n ) ne contient aucune
racine de l’unité.
¶ 66) On note e : T → C
∗ le caractère défini par passage au quotient par le
caractère x → e
2iπx de R.