§ 1
EXERCICES
TS II.299
(« somme de Gauss »).
j) Écrivons d = p 1 · · · p k , où p 1 , . . . p k sont des nombres premiers. On note
n
d
=
k
i=1
pi (n)
où, pour tout nombre premier impair p, on note p l’unique caractère d’ordre
2 de (Z/pZ)
∗ , étendu à Z/pZ en posant p (0) = 0 (« symbole de Jacobi »).
Si d et 2c det(A) sont premiers entre eux, alors
τ Q (c, d) =
det(A)
d
ε d
2c
d
√
d
r
,
où
ε d =
1 si d ≡ 1 mod. 4
i si d ≡ −1 mod. 4.
(Diagonaliser la forme quadratique et utiliser l’exercice précédent.)
k) Si g est congrue à l’identité modulo 4N, alors
θ Q (g · z; α) =
2c
d
r
(cz + d)
k θ Q (z; α).
* Cela signifie que l’application z → θ q (z; α) est une forme modulaire holomorphe de poids r/2 et de niveau 4N. (FM, en préparation.) *
62) Identifions T avec l’intervalle ]−1/2, 1/2]. Soit f la fonction sur R/Z
définie par f (x) = s(x) (fonction signe). Soit s n la somme partielle symétrique
s n (x) =
n
h=−n
f (h)e
2iπhx
de la série de Fourier de f .
a) Pour tout x = 0 dans T, on a s n (x) → f (x) quand n → +∞.
b) Soient n 1 et 0 < x 1/2. On a
s 2n (x) =
sin(2πnx)
2 sin(πx)
.
c) On a
lim
n→+∞
s 2n
1
4n
= 2
1/2
0
sin(2πx)
πx
dx,
et cette limite appartient à l’intervalle ]1, 2[ (« phénomène de Gibbs »).
63) Soit G le sous-groupe de T
N formé des éléments x = (x n ) tels que 2x n =
0 pour tout n ∈ N sauf au plus un nombre fini.
a) Pour tout ensemble fini Λ ⊂ N, soit U Λ ⊂ G l’ensemble des (x n ) tels
que x n = 1 pour n ∈ Λ et 2x n = 0 pour n /
∈ Λ. Il existe une structure de
EXERCICES
TS II.299
(« somme de Gauss »).
j) Écrivons d = p 1 · · · p k , où p 1 , . . . p k sont des nombres premiers. On note
n
d
=
k
i=1
pi (n)
où, pour tout nombre premier impair p, on note p l’unique caractère d’ordre
2 de (Z/pZ)
∗ , étendu à Z/pZ en posant p (0) = 0 (« symbole de Jacobi »).
Si d et 2c det(A) sont premiers entre eux, alors
τ Q (c, d) =
det(A)
d
ε d
2c
d
√
d
r
,
où
ε d =
1 si d ≡ 1 mod. 4
i si d ≡ −1 mod. 4.
(Diagonaliser la forme quadratique et utiliser l’exercice précédent.)
k) Si g est congrue à l’identité modulo 4N, alors
θ Q (g · z; α) =
2c
d
r
(cz + d)
k θ Q (z; α).
* Cela signifie que l’application z → θ q (z; α) est une forme modulaire holomorphe de poids r/2 et de niveau 4N. (FM, en préparation.) *
62) Identifions T avec l’intervalle ]−1/2, 1/2]. Soit f la fonction sur R/Z
définie par f (x) = s(x) (fonction signe). Soit s n la somme partielle symétrique
s n (x) =
n
h=−n
f (h)e
2iπhx
de la série de Fourier de f .
a) Pour tout x = 0 dans T, on a s n (x) → f (x) quand n → +∞.
b) Soient n 1 et 0 < x 1/2. On a
s 2n (x) =
sin(2πnx)
2 sin(πx)
.
c) On a
lim
n→+∞
s 2n
1
4n
= 2
1/2
0
sin(2πx)
πx
dx,
et cette limite appartient à l’intervalle ]1, 2[ (« phénomène de Gibbs »).
63) Soit G le sous-groupe de T
N formé des éléments x = (x n ) tels que 2x n =
0 pour tout n ∈ N sauf au plus un nombre fini.
a) Pour tout ensemble fini Λ ⊂ N, soit U Λ ⊂ G l’ensemble des (x n ) tels
que x n = 1 pour n ∈ Λ et 2x n = 0 pour n /
∈ Λ. Il existe une structure de