TS II.298
EXERCICES
§ 1
c) Pour tout y ∈ Z
r , on a
m∈Z r
exp(iπQ(m + y)z) =
1
det(A)
i
z
r/2
m∈Z r
exp
−iπ
Q(m)
z
+ m · y
,
(appliquer la formule de Poisson et l’exercice 1).
d) On note H le sous-groupe de (Z/NZ)
r formé des éléments α ∈ (Z/NZ)
r
tels que Aα = 0 dans Z/NZ. Le groupe H est de cardinal det(A). Tout
caractère de H est de la forme
ψ β (α) = exp
2iπ
α|β A
N 2
,
où β ∈ H.
e) Pour tout α ∈ H et z ∈ H, on a θ Q (z + 2; α) = exp
2iπQ(α)
N 2
θ Q (z; α).
f ) Pour tout α ∈ H et z ∈ H, on a
θ Q
−
1
z
; α
=
1
det(A)
(−iz)
r/2
β∈H
ψ β (α)θ Q (z; β).
g) Soit g =
a b
c d
∈ SL 2 (Z) tel que c = 0, d > 0 et b ≡ c ≡ 0 mod. 2. Pour
α ∈ H et z ∈ H, on a
θ Q (g · z; α) =
1
d r/2 det(A)
(cz + d)
r/2
β∈H
Φ(α, β)θ Q (z; β),
où
Φ(α, β) =
γ∈H
ψ γ (α)
δ mod. dN
δ≡α mod. N
exp
iπ
dN 2 (bQ(δ) + 2γ|δ A − cQ(γ))
(considérer d’abord θ Q ( g · z; α) où
g = g
0 −1
1 0
; remarquer la formule
d g · z = b − (dz − c)
−1 , et appliquer la question précédente ; noter que Φ(α, β)
ne dépend que de β modulo N).
h) Supposons de plus que c ≡ 0 mod. 2N. Alors
θ Q (g · z; x) =
τ
d r/2 (cz + d)
k θ Q (z; aα),
où
τ =
δ mod. dN
δ≡x mod. N
exp
iπbQ(δ)
dN 2
.
i) Supposons de plus que d est impair. On a τ = exp
iπabQ(α)
N 2
τ Q (c; d), où
τ Q (c, d) =
x∈(Z/dZ) r
e
−
iπcQ(x)
d