§ 1
EXERCICES
TS II.297
c) Pour tout entier m 1 et tout n ∈ Z, on pose
τ (n, m) =
m−1
k=0
e
2iπk
2 n/m .
Pour tous entiers m 1 et m 2 strictement positifs, on a
τ (1, m 1 m 2 ) = τ (m 2 , m 1 )τ (m 1 , m 2 ).
d) Si m est impair, on a τ (1, m) = i
((m−1)/2)
2 √
m. (Utiliser a).)
e) Si p est un nombre premier impair, alors τ (n, p) = p (n)τ (1, p), où p est
l’unique caractère d’ordre 2 de (Z/pZ)
∗ , étendu à Z/pZ en posant p (0) = 0.
f ) Soient p = q deux nombres premiers impairs. On a
p (q) q (p) =
τ (1, pq)
τ (1, p)τ (1, q)
.
g) En déduire une nouvelle preuve de la loi de réciprocité quadratique (cf.
A, V, p. 156, exerc. 23) : pour tous nombres premiers impairs p = q, on a
p (q) q (p) = (−1)
(p−1)(q−1)/4 .
61) Soit r 1 un entier. Soit A = (a i,j ) une matrice symétrique définie
positive de type (r, r) à coefficients entiers, et soit N 1 un entier tel que la
matrice A
∗ = NA
−1 soit également à coefficients entiers. On note Q (resp.
Q)
la forme quadratique entière associée à A (resp. à A
−1 ), c’est-à-dire que l’on
a Q(x) =
t xAx pour tout x ∈ Z
r . On note (a, b) → →a|b A la forme bilinéaire
associée à A, de sorte que a|b A =
t aAb.
On note H l’ensemble des nombres complexes z tels que I (z) > 0. C’est
un ouvert de C. On note log : H → C la restriction à H de la détermination
principale du logarithme (FVR, III, p. 10). Soit k ∈ N un entier impair. Pour
z ∈ H, on note z
k = exp(k log(z)).
a) Le groupe SL 2 (Z) agit transitivement sur H par
a b
c d
· z =
az + b
cz + d
,
a b
c d
∈ SL 2 (Z)
(cf. TA, I, p. 150, exercice 5).
b) Pour tout nombre complexe z ∈ H et tout x ∈ Z
r , la série
m∈Z
r
m≡x mod. N
exp(iπQ(m)z)
converge absolument et uniformément sur les compacts.
On note θ A (z; x) ou θ Q (z; x) la somme de cette série (« fonction thêta
associée à Q »). C’est une fonction holomorphe sur H.
EXERCICES
TS II.297
c) Pour tout entier m 1 et tout n ∈ Z, on pose
τ (n, m) =
m−1
k=0
e
2iπk
2 n/m .
Pour tous entiers m 1 et m 2 strictement positifs, on a
τ (1, m 1 m 2 ) = τ (m 2 , m 1 )τ (m 1 , m 2 ).
d) Si m est impair, on a τ (1, m) = i
((m−1)/2)
2 √
m. (Utiliser a).)
e) Si p est un nombre premier impair, alors τ (n, p) = p (n)τ (1, p), où p est
l’unique caractère d’ordre 2 de (Z/pZ)
∗ , étendu à Z/pZ en posant p (0) = 0.
f ) Soient p = q deux nombres premiers impairs. On a
p (q) q (p) =
τ (1, pq)
τ (1, p)τ (1, q)
.
g) En déduire une nouvelle preuve de la loi de réciprocité quadratique (cf.
A, V, p. 156, exerc. 23) : pour tous nombres premiers impairs p = q, on a
p (q) q (p) = (−1)
(p−1)(q−1)/4 .
61) Soit r 1 un entier. Soit A = (a i,j ) une matrice symétrique définie
positive de type (r, r) à coefficients entiers, et soit N 1 un entier tel que la
matrice A
∗ = NA
−1 soit également à coefficients entiers. On note Q (resp.
Q)
la forme quadratique entière associée à A (resp. à A
−1 ), c’est-à-dire que l’on
a Q(x) =
t xAx pour tout x ∈ Z
r . On note (a, b) → →a|b A la forme bilinéaire
associée à A, de sorte que a|b A =
t aAb.
On note H l’ensemble des nombres complexes z tels que I (z) > 0. C’est
un ouvert de C. On note log : H → C la restriction à H de la détermination
principale du logarithme (FVR, III, p. 10). Soit k ∈ N un entier impair. Pour
z ∈ H, on note z
k = exp(k log(z)).
a) Le groupe SL 2 (Z) agit transitivement sur H par
a b
c d
· z =
az + b
cz + d
,
a b
c d
∈ SL 2 (Z)
(cf. TA, I, p. 150, exercice 5).
b) Pour tout nombre complexe z ∈ H et tout x ∈ Z
r , la série
m∈Z
r
m≡x mod. N
exp(iπQ(m)z)
converge absolument et uniformément sur les compacts.
On note θ A (z; x) ou θ Q (z; x) la somme de cette série (« fonction thêta
associée à Q »). C’est une fonction holomorphe sur H.