TS II.296
EXERCICES
§ 1
où B R est la boule fermée de rayon R dans R
n . On note ∆ n = sup P ∆(P).
a) On a
∆ n =
sup
P périodique
∆(P).
b) Soit P un empilement de sphères périodique, invariant par le réseau Λ.
Soit C ⊂ R
n un ensemble de représentants des centres des boules S ∈ P
modulo Λ. On a
∆(P) = µ(B 1 )
r
n Card(C)
V(Λ)
où V(Λ) est le covolume de Λ.
c) Soit a > 0 un nombre réel. Soit f : R
n → R une fonction de Schwartz
telle que
(i) On a f (x) 0 si x 2a ;
(ii) La transformée de Fourier de f est à valeurs réelles positives et
vérifie
f (0) > 0.
Alors on a
∆ n µ(B 1 )a
n f (0)
f (0)
.
(Il suffit de considérer les empilements de sphères périodiques de rayon a ;
soit P l’un d’entre eux, et Λ, C ⊂ R
n comme dans la question précédente ;
à l’aide de la formule de Poisson, démontrer que
(c,d)∈C 2
n∈Λ
f (d − c + n) =
1
V(Λ)
h∈Λ ∗
c∈C
e
2iπc·h
2
f (h),
où Λ
∗ est le réseau associé, et conclure.)
60) a) Soit H ⊂ C l’ouvert des nombres complexes z tels que I (z) > 0. La
fonction
Θ(z) =
n∈Z
e
2iπn
2 z
est holomorphe sur H, et elle vérifie Θ(z) = (z/i)
−1/2 Θ(−1/z) pour z ∈ H, où
z → (z/i)
1/2 est l’unique fonction holomorphe sur H qui prolonge la fonction
iy →
√
y. (Utiliser l’exercice 16, b).)
b) Soient m et n des entiers strictement positifs. On a
1
√
m
m−1
k=0
e
2iπk
2 n/m =
e
iπ/4
√
2n
2n−1
k=0
e
−2iπk
2 m/(2n) .
(Appliquer la relation de la question précédente avec z = −2in/m + iy et
faire y → 0.)