§ 1
EXERCICES
TS II.295
où 1 (resp. 2 ) est l’application x → λx − 1 (resp. x → λx + 1) de R dans
R.
c) Si la mesure ν λ n’est pas une mesure de base la mesure de Lebesgue,
alors ν λ est étrangère à la mesure de Lebesgue. (Considérer la décomposition
de Lebesgue de ν λ par rapport à la mesure de Lebesgue, cf. INT, V, §5, n
o 7,
th. 3.)
d) Si 0 < λ <
1
2 , alors la mesure ν λ est étrangère à la mesure de Lebesgue.
e) Si λ =
1
2 , alors la mesure ν λ est égale à la mesure uniforme sur [−2, 2].
Si λ > 1/2, le support de ν λ est l’intervalle [−(1 − λ)
−1 , (1 − λ)
−1 ].
f ) Un nombre de Pisot est un entier algébrique réel x tel que tous les conjugués y ∈ C de x, autre que x, vérifient |y| < 1. Si λ
−1 est un nombre de Pisot,
alors la fonction ϕ λ ne tend pas vers 0 à l’infini. En particulier, la mesure ν λ
est étrangère à la mesure de Lebesgue.
g) Il existe λ > 1/2 tel que ν λ est étrangère à la mesure de Lebesgue.
On suppose désormais que ϕ λ ne tend pas vers 0 à l’infini et on note
θ = 1/λ. Pour tout nombre réel x, on note x l’unique nombre réel dans
[0, 1[ tel que x − −x ∈ Z.
h) Il existe un nombre réel u = 0 tel que la série de terme général sin(uθ
n )
2
converge ; la série de terme général uθ
n converge.
i) Pour tout n ∈ N, soit c n un entier tel que |uθ
n − c n |
1
2 . La série
formelle g(z) =
c n z
n est une fraction rationnelle. (Utiliser le critère de
A, IV, p. 85, exercice 1, et l’inégalité de Hadamard, EVT, V, p. 37, cor. 3,
pour montrer que les déterminants de Hankel qui apparaissent tendent vers
0 ; conclure en observant que ces déterminants sont entiers.)
j) Il existe des polynômes à coefficients entiers f 1 et f 2 tels que g = f 1 /f 2
et f 2 (0) = 1.
k) Le nombre θ est un nombre de Pisot (« théorème de Salem »). (Remarquer que f 2 (λ) = 0 et que les autres racines de f 2 sont de module > 1.)
59) Soit n 1 un entier et munissons R
n de la norme euclidienne. On note
µ la mesure de Lebesgue sur R
n .
Soit r > 0. Un empilement de sphères de rayon r dans R
n est un ensemble
P de parties disjointes de R
n , tel que tout S ∈ P est une boule fermée de
rayon r. On dit que P est périodique s’il existe un réseau Λ ⊂ R
n tel que
S + h ∈ P pour tout S ∈ P et tout h ∈ Λ.
Soit A P la réunion des éléments de P. C’est un ensemble mesurable. On
appelle densité de P le nombre réel
∆(P) = lim sup
R→+∞
µ(A P ∩ B R )
µ(B R )
EXERCICES
TS II.295
où 1 (resp. 2 ) est l’application x → λx − 1 (resp. x → λx + 1) de R dans
R.
c) Si la mesure ν λ n’est pas une mesure de base la mesure de Lebesgue,
alors ν λ est étrangère à la mesure de Lebesgue. (Considérer la décomposition
de Lebesgue de ν λ par rapport à la mesure de Lebesgue, cf. INT, V, §5, n
o 7,
th. 3.)
d) Si 0 < λ <
1
2 , alors la mesure ν λ est étrangère à la mesure de Lebesgue.
e) Si λ =
1
2 , alors la mesure ν λ est égale à la mesure uniforme sur [−2, 2].
Si λ > 1/2, le support de ν λ est l’intervalle [−(1 − λ)
−1 , (1 − λ)
−1 ].
f ) Un nombre de Pisot est un entier algébrique réel x tel que tous les conjugués y ∈ C de x, autre que x, vérifient |y| < 1. Si λ
−1 est un nombre de Pisot,
alors la fonction ϕ λ ne tend pas vers 0 à l’infini. En particulier, la mesure ν λ
est étrangère à la mesure de Lebesgue.
g) Il existe λ > 1/2 tel que ν λ est étrangère à la mesure de Lebesgue.
On suppose désormais que ϕ λ ne tend pas vers 0 à l’infini et on note
θ = 1/λ. Pour tout nombre réel x, on note x l’unique nombre réel dans
[0, 1[ tel que x − −x ∈ Z.
h) Il existe un nombre réel u = 0 tel que la série de terme général sin(uθ
n )
2
converge ; la série de terme général uθ
n converge.
i) Pour tout n ∈ N, soit c n un entier tel que |uθ
n − c n |
1
2 . La série
formelle g(z) =
c n z
n est une fraction rationnelle. (Utiliser le critère de
A, IV, p. 85, exercice 1, et l’inégalité de Hadamard, EVT, V, p. 37, cor. 3,
pour montrer que les déterminants de Hankel qui apparaissent tendent vers
0 ; conclure en observant que ces déterminants sont entiers.)
j) Il existe des polynômes à coefficients entiers f 1 et f 2 tels que g = f 1 /f 2
et f 2 (0) = 1.
k) Le nombre θ est un nombre de Pisot (« théorème de Salem »). (Remarquer que f 2 (λ) = 0 et que les autres racines de f 2 sont de module > 1.)
59) Soit n 1 un entier et munissons R
n de la norme euclidienne. On note
µ la mesure de Lebesgue sur R
n .
Soit r > 0. Un empilement de sphères de rayon r dans R
n est un ensemble
P de parties disjointes de R
n , tel que tout S ∈ P est une boule fermée de
rayon r. On dit que P est périodique s’il existe un réseau Λ ⊂ R
n tel que
S + h ∈ P pour tout S ∈ P et tout h ∈ Λ.
Soit A P la réunion des éléments de P. C’est un ensemble mesurable. On
appelle densité de P le nombre réel
∆(P) = lim sup
R→+∞
µ(A P ∩ B R )
µ(B R )