TS II.294
EXERCICES
§ 1
g) * Il existe une fonction entière σ telle que f α,β (x) = |σ(x)|
2 pour tout
x ∈ R. La transformée de Fourier de la restriction de σ à R est à support
dans [−1/2, 1/2]. *
57) On garde les notations de l’exercice précédent. Soient M, N 1 des
entiers et soit (a n ) M 0
un nombre réel, R 1 un entier et (ξ r ) 1rR une famille de nombres réels
tels que inf h∈Z |ξ r − ξ r − h| δ pour tous r = r
.
Pour tout x ∈ R, posons
S(x) =
M+N
n=M+1
a n e
2iπnx .
a) On a
R
r=1
|S(ξ r )|
2 (N + δ
−1 − 1)
M+N
n=M+1
|a n |
2
(« inégalité de grand crible »).
(Considérer la fonction τ : z → σ(δz), où σ est la fonction des questions f )
et g) de l’exercice précédent pour l’intervalle [α, β] = [δ(M + 1), δ(M + N)] ;
poser
S
∗ (x) =
M+N
n=M+1
a(n)τ (n)
−1 e
2iπnx
et observer que
S(x) =
δ/2
−δ/2
τ (t)S
∗ (t + x)dt.
Poser x = ξ r , appliquer l’inégalité de Cauchy-Schwarz et sommer sur r.)
b) La constante N + δ
−1 − 1 est optimale.
58) Pour tout nombre réel non nul λ, on note µ λ la mesure de probabilité
discrète sur R telle que µ λ (λ) = µ λ (−λ) =
1
2 .
On fixe λ ∈ ]0, 1[.
a) Posons ν 0 = µ 1 et ν n+1 = µ λ n+1 ∗ ν n pour tout entier n 0. La suite
(ν n ) n∈N converge vers une mesure de probabilité ν λ sur R. La fonction caractéristique de ν λ est la fonction sur R définie par
ϕ λ (x) =
+∞
n=0
cos(λ
n x).
b) La mesure ν λ est l’unique mesure positive ν de masse totale 1 sur R telle
que
ν =
1
2
1 (ν) +
1
2
2 (ν),