§ 1
EXERCICES
TS II.293
son extension à
G. On pose
A(f ) =
G
f (x) ν(x).
a) Soit χ ∈
G. La fonction χf est presque périodique. On définit alors
P(f )(χ) = A(χf ). On a
A(|f |
2 ) =
χ∈ G
|P(f )(χ)|
2
et en particulier A(χf ) = 0 sauf pour un ensemble dénombrable de χ.
b) Soit f une fonction presque périodique sur R. Pour tout y ∈ R, on a
P(f )(y) = lim
T→+∞
1
2T
T
−T
f (x)e
−2iπxy dx.
c) Soit Λ un sous-ensemble fini de R. La fonction définie sur R par
f (x) =
λ∈Λ
e
iλx
est presque périodique sur R ; déterminer en fonction de Λ l’ensemble des
y ∈ R tels que P(f )(y) = 0.
56) On pose
k(z) =
sin(πz)
πz
2
si z ∈ C Z et k(z) = 1 si z ∈ Z. La fonction k appartient à l’espace E 1/2
(exercice 36).
a) Pour tout nombre complexe z ∈ C Z, on a
n∈Z
1
(z − n) 2 =
π
sin(πz)
2
(appliquer la formule de Poisson).
b) Pour z ∈ C Z, on définit
h(z) =
sin(πz)
π
2
n∈Z
s(n)
(z − n) 2 +
2
z
,
où s(n) désigne la fonction signe. La fonction h se prolonge en une fonction
entière appartenant à l’espace E 2 . On pose b = h + k.
c) Pour tout x ∈ R, on a 1 − k(x) h(x) 1.
d) Pour tout x ∈ R, on a |s(x) − h(x)| k(x).
e) On a b s ; la fonction b − s est intégrable sur R et vérifie
(b − s) = 1.
f ) Soient α < β des nombres réels et ϕ la fonction caractéristique de l’intervalle [α, β]. La fonction f α,β (z) =
1
2 (b(β − z) + b(z − α)) vérifie ϕ f α,β
et
R
(f α,β − ϕ) = 1.