TS II.292
EXERCICES
§ 1
b) Pour tout entier N 1, notons f N la fonction sur T telle que
f N (t) =
h∈Z
|h|N
f (h)e
2iπht
1 −
|h|
N
pour t ∈ T. Soit X ⊂ T un ensemble tel que la restriction de f à X est
continue. Démontrer que f N converge vers f uniformément sur X.
c) Soit X ⊂ T un ouvert tel que la restriction de f à X est de classe C
1 .
Démontrer que la série de Fourier de f converge symétriquement vers f uniformément sur X.
54) On suppose que G n’est pas compact. On note
G d le groupe dual
G
muni de la topologie discrète et
G le groupe dual de
G d ; c’est un groupe
topologique compact.
a) L’application qui associe à x ∈ G le caractère χ → χ(x) est un homomorphisme continu injectif de G dans
G ; son image est dense dans
G.
On identifie désormais G à un sous-ensemble de
G.
b) Soient K un groupe topologique compact et ϕ : G → K un homomorphisme continu. Il existe un unique homomorphisme
ϕ de
G dans K qui
étend ϕ.
c) Soit f ∈ C b (G). Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) Il existe une fonction
f ∈ C (
G) qui étend f ;
(ii) La fonction f appartient à l’adhérence dans C (G) du sous-espace
de C (G) engendré par les caractères χ ∈
G ;
(iii) L’ensemble des γ(x)f pour x ∈ G est précompact dans C (G).
(Pour vérifier que (iii) implique (i), montrer que f est uniformément continue.
Considérer alors l’adhérence des γ(x)f ; c’est un espace métrique compact K.
Démontrer que : x → γ(x) est un homomorphisme continu de G dans le
groupe des isométries de K ; appliquer alors la question b) pour étendre
en
et poser
f (x) = ( (x)f )(e).)
On dit qu’une fonction f ∈ C b (G) vérifiant ces conditions équivalentes est
presque périodique.
d) Soit f une fonction presque périodique sur G. Pour tout ε > 0 et pour
toute partie compacte F de G, il existe x ∈ G F tel que γ(x)f − f ε.
e) L’ensemble des fonctions presque périodiques sur G est une sous-algèbre
stellaire de C b (G).
55) On garde les notations de l’exercice précédent. On munit
G de la mesure
de Haar normalisée ν. Soient f une fonction presque périodique sur G et
f
EXERCICES
§ 1
b) Pour tout entier N 1, notons f N la fonction sur T telle que
f N (t) =
h∈Z
|h|N
f (h)e
2iπht
1 −
|h|
N
pour t ∈ T. Soit X ⊂ T un ensemble tel que la restriction de f à X est
continue. Démontrer que f N converge vers f uniformément sur X.
c) Soit X ⊂ T un ouvert tel que la restriction de f à X est de classe C
1 .
Démontrer que la série de Fourier de f converge symétriquement vers f uniformément sur X.
54) On suppose que G n’est pas compact. On note
G d le groupe dual
G
muni de la topologie discrète et
G le groupe dual de
G d ; c’est un groupe
topologique compact.
a) L’application qui associe à x ∈ G le caractère χ → χ(x) est un homomorphisme continu injectif de G dans
G ; son image est dense dans
G.
On identifie désormais G à un sous-ensemble de
G.
b) Soient K un groupe topologique compact et ϕ : G → K un homomorphisme continu. Il existe un unique homomorphisme
ϕ de
G dans K qui
étend ϕ.
c) Soit f ∈ C b (G). Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) Il existe une fonction
f ∈ C (
G) qui étend f ;
(ii) La fonction f appartient à l’adhérence dans C (G) du sous-espace
de C (G) engendré par les caractères χ ∈
G ;
(iii) L’ensemble des γ(x)f pour x ∈ G est précompact dans C (G).
(Pour vérifier que (iii) implique (i), montrer que f est uniformément continue.
Considérer alors l’adhérence des γ(x)f ; c’est un espace métrique compact K.
Démontrer que : x → γ(x) est un homomorphisme continu de G dans le
groupe des isométries de K ; appliquer alors la question b) pour étendre
en
et poser
f (x) = ( (x)f )(e).)
On dit qu’une fonction f ∈ C b (G) vérifiant ces conditions équivalentes est
presque périodique.
d) Soit f une fonction presque périodique sur G. Pour tout ε > 0 et pour
toute partie compacte F de G, il existe x ∈ G F tel que γ(x)f − f ε.
e) L’ensemble des fonctions presque périodiques sur G est une sous-algèbre
stellaire de C b (G).
55) On garde les notations de l’exercice précédent. On munit
G de la mesure
de Haar normalisée ν. Soient f une fonction presque périodique sur G et
f