§ 1
EXERCICES
TS II.291
telles que g k 1 2 et
inf
t∈T
sup
0mN k
|S m (g k )(t)| 2
2k .
Soit
g k = e M k g k , où M k est un entier assez grand ; poser ϕ =
k1 2
−k
g k .)
52) Soit H un groupe discret dénombrable, non nécessairement commutatif.
a) Le groupe H est moyennable (EVT, IV, p. 73, exercice 4) si et seulement
si il existe une suite croissante (F N ) N de sous-ensembles finis de H telle que,
pour tout x ∈ H, on a
lim
N→+∞
1
Card(F N )
Card((F N xF N ) ∪ (xF N F N )) = 0
(« suite de Følner »). Si H est commutatif, alors il est moyennable.
b) Soit G un groupe compact commutatif. Fixons une suite (F N ) N1 de
parties finies du groupe discret
G comme dans a) et notons ϕ N la fonction
caractéristique de F N . Posons
ψ N =
1
Card(F N )
ϕ N ∗
ϕ N .
La fonction ψ N est à support fini, elle vérifie 0 ψ N 1, et
lim
N→+∞
ψ N (χ) = 1
pour tout χ ∈
G.
c) Soit µ N la mesure sur G de densité l’application continue
χ∈ G
ψ N (χ)χ.
La suite des mesures (µ N ) N1 converge vers ε e dans l’espace M
1 (G) muni de
la topologie de la convergence compacte dans C (G). (Appliquer le lemme 4
de INT, VIII, §2, n
o 7.)
d) Soit f ∈ C (G). On a alors
f = lim
N→∞
χ∈ G
ψ N (χ)F (f )(χ)χ
dans C (G).
e) Retrouver le théorème de Fejér (prop. 23 de II, p. 242) comme cas particulier de cet énoncé.
53) Soit f ∈ L
1 (T).
a) Soit k 1 un entier et supposons que f ∈ C
k (T). La série de Fourier
de f converge vers f dans C
k−1 (T). Si k 2, la série de Fourier de f converge
absolument vers f dans C (T).