TS II.290
EXERCICES
§ 1
(soit j tel que m j = 0 et |x j − t| est maximal ; noter que la famille t − (x i ) i =j
est T-indépendante et appliquer le théorème de Kronecker).
e) On garde l’hypothèse de la question précédente, mais on suppose que
seul un des coefficients m j est non nul, et que t /
∈ E n . Il existe m 0 tel que
|S m (µ n )(t)|
1
10
log n
(observer que la famille m j (t − x i ) i =j est T-indépendante et appliquer le
théorème de Kronecker).
f ) On suppose que t ∈ E n . Il existe m 0 tel que
|S m (µ n )(t)|
1
10
log n
(la famille (x i ) xi =t est T-indépendante).
g) Il existe un entier M 0 tel que, pour tout t ∈ T, on a
sup
0mM
|S m (µ n )(t)|
1
20
log n.
h) Il existe une fonction f n ∈ C
∞ (T) et un entier M 0 tels que
Supp(f n ) ⊂
n
j=1
j
n
−
2
10 4 n
,
j
n
+
2
10 4 n
j/n+2/(10
4 n)
j/n−2/(10 4 n)
f n =
1
n
,
1 j n
sup
0mM
|S m (f n )(t)|
1
40
log n,
pour tout t ∈ T.
i) Il existe M 1 et une famille finie (a n ) |n|M de nombres complexes tels
que la fonction
g M (t) =
M
k=−M
a k e k n
vérifie
T
|g M (t)|dt 2,
inf
t∈T
sup
0mM
|S m (g M )(t)|
1
40
log n.
j) Il existe ϕ ∈ L
1 (T) telle que
ϕ(h) = 0 si h < 0 et telle que la série
h1
ϕ(h)e h (t)
diverge pour tout t ∈ T (« théorème de Kolmogorov »).
(Il existe une suite N k d’entiers et une suite de fonctions
g k =
N k
n=−N k
a k,n e n