§ 1
EXERCICES
TS II.289
c) Analogie avec les fonctions de Bessel J k+1/2 (exercice 20) pour k ∈ N.
51) On identifie T et l’intervalle [0, 1[. Pour n ∈ Z, soit e n le caractère
unitaire de T défini par t → exp(2iπnt). Pour toute mesure µ ∈ M
1 (T) et
tout entier m 1, on note
S m (µ) =
m
h=−m
µ(h)e h ∈ C (T)
la m-ème somme partielle symétrique de la série de Fourier de µ.
Une famille finie (y 1 , . . . , y k ) de nombres réels est dite T-indépendante
si (1, y 1 , . . . , y k ) est Q-linéairement indépendante. Cela revient à dire que
l’équation
k
j=1
m j y j = 0
dans T, avec m j ∈ Z, a pour unique solution la famille nulle. Pour t ∈ R, on
note t − (y 1 , . . . , y k ) la famille (t − y j ) j .
a) Soit n 10
6 un entier. Il existe des réels x 1 , . . . , x n dans [0, 1] tels que
|x j − j/n| 10
−4 n
−1
et tels que la famille E n = (x 1 , . . . , x n ) est T-indépendante.
On note
µ n =
1
n
n
j=1
ε xj .
C’est une mesure de probabilité sur T.
b) Soit t ∈ R. On a
1
n
n
j=1
1
| sin(π(t − x j ))|
1
5
log n.
c) Soit t ∈ R tel que la famille t − E n est T-indépendante. Il existe m ∈ N
∗
tel que
|S m (µ n )(t)|
2
15
log n.
(appliquer le théorème de Kronecker, cf. exercice 34).
d) Soit t ∈ R tel que la famille t − E n n’est pas T-indépendante et soient
m 1 , . . . , m n des entiers non tous nuls tels que
n
j=1
m j (t − x j ) = 0
dans T. Si deux des entiers m j sont non nuls, il existe m 0 tel que
|S m (µ n )(t)|
1
10
log n