TS II.288
EXERCICES
§ 1
(« sommes de Jacobi »). Si χ 1 χ 2 = 1, alors pour tout caractère ψ = 1 de k,
on a
J(χ 1 , χ 2 ) =
χ 1 (ψ) χ 2 (ψ)
χ 1 χ 2 (ψ)
,
|J(χ 1 , χ 2 )| =
√ q.
d) Supposons que p est un nombre premier congru à 1 modulo 4. Il existe des
entiers a et b tels que a
2 + b
2 = p (« théorème des deux carrés de Fermat »).
(Considérer une somme de Jacobi pour des caractères d’ordre convenablement
choisi de F
∗
p .)
e) Supposons que p est impair. Soit λ ∈ k
∗ l’unique caractère d’ordre 2
(« caractère de Legendre »). Soit χ un caractère non trivial de k
∗ et posons
η = χ
2 . Démontrer que pour tout caractère ψ = 1 de k, on a
η(ψ)
λ(ψ) = χ(4) χ(ψ)
χλ(ψ)
(« formule de Hasse–Davenport »).
f ) Supposons que p est impair. Soit N p le nombre de (x, y) ∈ F p × F p tels
que y
2 = x
4 + 1. On a
|N p − p| 2
√ p.
(Lorsque p est congru à 3 modulo 4, montrer que N p = p ; sinon, vérifier que
N p − p = −
x λ(x
4 + 1), où λ est le caractère de Legendre modulo p, et
exprimer cette somme à l’aide de sommes de Jacobi.)
g) Comparer ces formules avec celles satisfaites par la fonction gamma
(FVR, VII).
50) Soit k un corps fini de caractéristique p = 2 et de cardinal q. On munit k
de la mesure de comptage et on note
f la cotransformation de Fourier d’une
fonction f : k → C. On munit k
∗ de la mesure de comptage et on fixe un
caractère non trivial ψ de k. On note λ l’unique caractère d’ordre 2 de k
∗ ,
étendu à k en posant λ(0) = 0.
Pour tout a ∈ k
∗ , on pose
S(a) =
x∈k ∗
λ(x)ψ(ax + x
−1 )
(« sommes de Salié »). On note F (S) la transformée de Fourier de la fonction
S sur k
∗ .
a) Soit χ ∈ k
∗ et posons η = χ
2 . On a
F (S)(χ) =
χ(ψ)
χλ(ψ) = χ(4)
λ(ψ) η(ψ)
(utiliser la formule de Hasse-Davenport).
b) En déduire que
S(a) = λ(a)
λ(ψ)
y∈k
∗
y
2 =4a
ψ(y), |S(a)| 2
√ q.