§ 1
EXERCICES
TS II.287
e) La suite (s n (x)) n∈N ∗ converge vers f (x) pour µ-presque tout x ∈ X.
f ) Soit f ∈ L
1 (T) telle que
h∈Z
log(|h| + 1)
2 |
f (h)|
2 < +∞.
Pour presque tout x, la série de Fourier de f en x converge symétriquement
vers f (x) (« théorème de Rademacher-Menshov »).
48) a) Soit p ∈ [1, +∞[. Un sous-ensemble X de L
p (R) est relativement
compact, si et seulement si il est borné, et vérifie les conditions
lim
y→0
sup
f ∈X
γ(y)f − f p = 0
lim
R→+∞
sup
f ∈X
(1 − ϕ R )f p = 0,
où ϕ R est la fonction caractéristique de l’intervalle [−R, R] (cf. INT, VIII,
p. 205, exercice 26).
b) Soit X une partie bornée de L
2 (R). Démontrer que X est précompacte
si et seulement si
lim
R→+∞
sup
f ∈X
R
(1 − ϕ R )(|f |
2 + |
f |
2 )dx = 0.
c) Soit (f n ) une suite dans L
2 (R) orthonormale dans L
2 (R) telle que
sup n |f n | appartient à L
2 (R). Alors sup n |
f n | n’appartient pas à L
2 (R).
49) Soit k un corps fini de caractéristique p et de cardinal q. On munit k
de la mesure de comptage et on note
f la cotransformation de Fourier d’une
fonction f : k → C.
a) Soit χ un caractère non-trivial de k
∗ . On étend χ à k en posant χ(0) = 0.
Démontrer que | χ(ψ)| =
√ q pour tout ψ ∈ k tel que ψ = 1. (« Sommes de
Gauss ».)
b) Soit d | q − 1 un entier. Démontrer que pour tout caractère ψ = 1 de k,
on a
x∈k
ψ(x
d )
(d − 1)
√ q,
avec égalité si d = 2.
c) Soient χ 1 et χ 2 des caractères non-triviaux de k
∗ , étendus par 0 à k
comme dans la question a). On pose
J(χ 1 , χ 2 ) =
x∈k
χ 1 (x)χ 2 (1 − x)