TS II.286
EXERCICES
§ 1
d) ¶ Il existe un homéomorphisme croissant σ de [0, 1] dans lui-même tel que
la série de Fourier de f ◦ σ converge symétriquement dans C (T) (« Théorème
de Bohr-Pál »).
e) ¶¶ Le théorème de Sahakyan vaut-il pour les fonctions continues à valeurs complexes ?
f ) ¶¶ Existe-t-il une fonction f : R/Z → C dont l’image est d’intérieur non
vide et qui vérifie la condition sup
h∈Z {0}
|h||
f (h)| < +∞ ?
47) Soient X un espace topologique localement compact et µ une mesure de
probabilité sur X. Soit (f n ) n∈N ∗ une famille orthonormale dans L
2 (X, µ). Soit
(a n ) n∈N ∗ une suite de nombres complexes telle que la famille (a n log(n)) n∈N ∗
appartient à
2 (N
∗ ).
Pour tout ensemble fini d’entiers I, on note
s I =
n∈I
a n f n ,
et on écrit aussi s n = s {1,...,n} .
a) Soit N 1. Il existe une famille I d’intervalles non vides de {1, . . . , N}
et une constante C 0, indépendante de N, vérifiant les conditions suivantes :
(i) Tout intervalle de {1, . . . , N} de la forme I = {1, . . . , M} est réunion
disjointe d’au plus C log(M + 1) intervalles dans I ;
(ii) Tout entier n ∈ {1, . . . , N} appartient à au plus C log(N + 1) intervalles dans I .
b) Il existe une constante C > 0 telle que pour tout N ∈ N
∗ , on a
X
sup
1nN
|s n |
2
dµ 𨐽 C
N
n=1
|a n |
2 .
(Soit τ (x) le plus petit entier N tel que sup 1nN |s n (x)| = |s τ (x) (x)|, et
soit S(x) = s τ (x) (x). Soit I une famille d’intervalles comme dans la question
précédente ; écrire
S =
I∈J
s I
où J est une famille disjointe d’intervalles dans I , puis appliquer l’inégalité
de Cauchy-Schwarz.)
c) Pour j ∈ N
∗ , on pose
S j =
2 j a n f n .
La série de terme général (j + 1)|S j |
2 converge µ-presque partout dans X.
d) La suite (s 2 j (x)) j∈N ∗ est une suite de Cauchy pour µ-presque tout x ∈ X.
Notons f (x) sa limite, définie µ-presque partout.