§ 1
EXERCICES
TS II.285
46) Pour tout entier k 0, soit D k ⊂ [0, 1] l’ensemble des nombres j/2
k
pour 0 j 2
k entier. Soit D la réunion des ensembles D k pour k 0. Pour
tout k 1, et tout t ∈ D k+1 D k , notons t + (resp. t − ) le plus petit élément
de D k+1 tel que t < t + (resp. le plus grand élément de D k+1 tel que t − < t) ;
t + et t − appartiennent à D k .
a) Soit σ : D → [0, 1] une fonction strictement croissante telle que σ(0) = 0
et σ(1) = 1, dont l’image est dense dans [0, 1]. Alors il existe un unique homéomorphisme strictement croissant de [0, 1] dans lui-même qui prolonge σ.
Soit f : [0, 1] → R une fonction continue. On appelle ébauche de niveau k
de f une application strictement croissante σ : D k → [0, 1] telle que σ(0) = 0,
σ(1) = 1 et telle que pour tout entier j tel que 0 j < 2
k , on ait l’une des
conditions suivantes :
(i) f (σ(j/2
k )) = f (σ((j + 1)/2
k )) ;
(ii) il existe un intervalle ouvert I contenu dans ]σ(j/2
k ), σ(j + 1)/2
k [
tel que, pour tout t ∈ I, on ait
f (t) = f (σ(j/2
k )).
On note t σ le plus petit élément strictement positif de D k tel que
inf
t
)| = sup
t∈D k
inf
t
)|.
On dit qu’une ébauche τ de niveau k + 1 est une bonne extension d’une
ébauche σ de niveau k si τ prolonge σ et si, pour tout t ∈ D k+1 D k , on a
f (τ (t)) =
1
2
(f (σ(t − )) + f (σ(t + )))
si t − = t σ .
b) Il existe un homéomorphisme croissant σ de [0, 1] dans lui-même tel que
(i) Pour tout entier k 1, la restriction σ k de σ à D k est une ébauche
de niveau k ;
(ii) Pour tout entier k 1, l’application σ k+1 est une bonne extension
de σ k .
c) On suppose que f (0) = f (1). Notons σ l’homéomorphisme croissant
de [0, 1] défini par une application σ : D → [0, 1] vérifiant les conditions de
la question précédente. Il existe une constante C 0 telle que la fonction
continue f ◦ σ, identifiée à une fonction continue sur T, vérifie
|
(f ◦ σ)(n)|
C
|n|
pour tout n ∈ Z {0} (« Théorème de Sahakyan » ; utiliser l’exercice 2 de
II, p. 262 et l’exercice précédent.)
EXERCICES
TS II.285
46) Pour tout entier k 0, soit D k ⊂ [0, 1] l’ensemble des nombres j/2
k
pour 0 j 2
k entier. Soit D la réunion des ensembles D k pour k 0. Pour
tout k 1, et tout t ∈ D k+1 D k , notons t + (resp. t − ) le plus petit élément
de D k+1 tel que t < t + (resp. le plus grand élément de D k+1 tel que t − < t) ;
t + et t − appartiennent à D k .
a) Soit σ : D → [0, 1] une fonction strictement croissante telle que σ(0) = 0
et σ(1) = 1, dont l’image est dense dans [0, 1]. Alors il existe un unique homéomorphisme strictement croissant de [0, 1] dans lui-même qui prolonge σ.
Soit f : [0, 1] → R une fonction continue. On appelle ébauche de niveau k
de f une application strictement croissante σ : D k → [0, 1] telle que σ(0) = 0,
σ(1) = 1 et telle que pour tout entier j tel que 0 j < 2
k , on ait l’une des
conditions suivantes :
(i) f (σ(j/2
k )) = f (σ((j + 1)/2
k )) ;
(ii) il existe un intervalle ouvert I contenu dans ]σ(j/2
k ), σ(j + 1)/2
k [
tel que, pour tout t ∈ I, on ait
f (t) = f (σ(j/2
k )).
On note t σ le plus petit élément strictement positif de D k tel que
inf
t
)| = sup
t∈D k
inf
t
)|.
On dit qu’une ébauche τ de niveau k + 1 est une bonne extension d’une
ébauche σ de niveau k si τ prolonge σ et si, pour tout t ∈ D k+1 D k , on a
f (τ (t)) =
1
2
(f (σ(t − )) + f (σ(t + )))
si t − = t σ .
b) Il existe un homéomorphisme croissant σ de [0, 1] dans lui-même tel que
(i) Pour tout entier k 1, la restriction σ k de σ à D k est une ébauche
de niveau k ;
(ii) Pour tout entier k 1, l’application σ k+1 est une bonne extension
de σ k .
c) On suppose que f (0) = f (1). Notons σ l’homéomorphisme croissant
de [0, 1] défini par une application σ : D → [0, 1] vérifiant les conditions de
la question précédente. Il existe une constante C 0 telle que la fonction
continue f ◦ σ, identifiée à une fonction continue sur T, vérifie
|
(f ◦ σ)(n)|
C
|n|
pour tout n ∈ Z {0} (« Théorème de Sahakyan » ; utiliser l’exercice 2 de
II, p. 262 et l’exercice précédent.)