TS II.284
EXERCICES
§ 1
différentiable, et f (f |J)
est continue). On dit que f est une courbe paramétrée
dans le plan. On dit que
(f ) =
I
|f
(t)|dt
(où f
(t) est identifié à un nombre complexe) est la longueur de la courbe
paramétrée f . Si de plus f (a) = f (b), on dit que f définit une courbe de
Jordan. Il existe alors une unique composante connexe bornée C de R
2 f (I)
(TA, à paraître). La mesure de Lebesgue de C est appelée l’aire circonscrite
par la courbe de Jordan f , et notée A(f ).
a) Supposons que f est une courbe de Jordan. Pour tout t ∈ I, la restriction
f t de f à [a, t] est une courbe paramétrée et la fonction s : t → (f t ) est
une bijection strictement croissante de I dans J = [0, ,(f )]. La fonction g =
f ◦ s
−1 : J → R
2 est une courbe de Jordan, et pour tout t ∈ J, on a (g t ) = t.
b) Soit f = (f 1 , f 2 ) une courbe de Jordan. On a
A(f ) =
1
2
I
(f 1 f
2 − f 2 f
1 ),
où l’intégrale est par rapport à la mesure de Lebesgue sur I. (Appliquer la
formule de Stokes.) De plus, on a A(g) = A(f ), où g est la fonction de la
question a).
c) On a 4πA(f ) (f )
2 (« inégalité isopérimétrique dans le plan »). (Se
ramener au cas où (f ) = 1 ; considérer la série de Fourier des parties réelles
et imaginaires de g et montrer que |g
(t)|
2 = 1 pour t ∈ J.)
d) Si 4πA(f ) = (f )
2 , alors l’image de f est un cercle dans R
2 .
45) Pour tout nombre réel h > 0, soit ∆ h la fonction continue sur R telle
que ∆ h (t) = 0 si |t| > h et ∆ h (t) = 1 − |t|/h pour t ∈ [−h, h].
a) La famille dans C ([0, 1]) formée des fonctions f 0 = 1, f 1 : t → t, et des
fonctions
f k,l : t → ∆ 2 −k
t −
2l + 1
2 k
pour k 1 et 0 l < 2
k−1 est une base banachique de l’espace de Banach
C ([0, 1]) (cf. EVT, IV, p. 70, exerc. 14). Plus précisément, pour tout f ∈
C ([0, 1]), on a
f = f (0)f 0 + (f (1) − f (0))f 1 +
k1
0l<2 k−1
f
2l + 1
2 k
−
1
2
f
l
2 k−1
+ f
l + 1
2 k−1
f k,l
dans C ([0, 1]).
b) La famille des fonctions t → e
2iπht pour h ∈ Z n’est pas une base banachique de l’espace des fonctions f ∈ C ([0, 1]) telles que f (0) = f (1).
EXERCICES
§ 1
différentiable, et f (f |J)
est continue). On dit que f est une courbe paramétrée
dans le plan. On dit que
(f ) =
I
|f
(t)|dt
(où f
(t) est identifié à un nombre complexe) est la longueur de la courbe
paramétrée f . Si de plus f (a) = f (b), on dit que f définit une courbe de
Jordan. Il existe alors une unique composante connexe bornée C de R
2 f (I)
(TA, à paraître). La mesure de Lebesgue de C est appelée l’aire circonscrite
par la courbe de Jordan f , et notée A(f ).
a) Supposons que f est une courbe de Jordan. Pour tout t ∈ I, la restriction
f t de f à [a, t] est une courbe paramétrée et la fonction s : t → (f t ) est
une bijection strictement croissante de I dans J = [0, ,(f )]. La fonction g =
f ◦ s
−1 : J → R
2 est une courbe de Jordan, et pour tout t ∈ J, on a (g t ) = t.
b) Soit f = (f 1 , f 2 ) une courbe de Jordan. On a
A(f ) =
1
2
I
(f 1 f
2 − f 2 f
1 ),
où l’intégrale est par rapport à la mesure de Lebesgue sur I. (Appliquer la
formule de Stokes.) De plus, on a A(g) = A(f ), où g est la fonction de la
question a).
c) On a 4πA(f ) (f )
2 (« inégalité isopérimétrique dans le plan »). (Se
ramener au cas où (f ) = 1 ; considérer la série de Fourier des parties réelles
et imaginaires de g et montrer que |g
(t)|
2 = 1 pour t ∈ J.)
d) Si 4πA(f ) = (f )
2 , alors l’image de f est un cercle dans R
2 .
45) Pour tout nombre réel h > 0, soit ∆ h la fonction continue sur R telle
que ∆ h (t) = 0 si |t| > h et ∆ h (t) = 1 − |t|/h pour t ∈ [−h, h].
a) La famille dans C ([0, 1]) formée des fonctions f 0 = 1, f 1 : t → t, et des
fonctions
f k,l : t → ∆ 2 −k
t −
2l + 1
2 k
pour k 1 et 0 l < 2
k−1 est une base banachique de l’espace de Banach
C ([0, 1]) (cf. EVT, IV, p. 70, exerc. 14). Plus précisément, pour tout f ∈
C ([0, 1]), on a
f = f (0)f 0 + (f (1) − f (0))f 1 +
k1
0l<2 k−1
f
2l + 1
2 k
−
1
2
f
l
2 k−1
+ f
l + 1
2 k−1
f k,l
dans C ([0, 1]).
b) La famille des fonctions t → e
2iπht pour h ∈ Z n’est pas une base banachique de l’espace des fonctions f ∈ C ([0, 1]) telles que f (0) = f (1).