§ 1
EXERCICES
TS II.283
(iii) Pour tout réel positif τ , soit ϕ n,τ la fonction caractéristique de
l’ensemble des t ∈ R
k tels que
t σ n (t) τ . On a
lim
a→+∞
sup
n∈N
ta
| µ n (
t σ n (t))|ϕ n,τ (t)dt = 0.
D’après l’exercice 5, la condition (i) implique que la mesure µ admet une
densité continue ψ par rapport à la mesure de Lebesgue. On note α = ψ(0).
a) Soit f ∈ C b (R
k ) une fonction intégrable telle que
f est à support compact. On a
lim
n→+∞
1
|det(σ n )|
R k
f µ n = α
R k
f.
(Appliquer la formule de transposition de la transformation de Fourier.)
b) La formule de la question précédente est valide lorsque f ∈ K (R
k ). Pour
tout sous-ensemble mesurable et borné B ⊂ R
k tel que la frontière de B est
négligeable pour la mesure de Lebesgue, on a
lim
n→+∞
1
|det(σ n )|
µ n (B) = αλ(B).
(Pour toute fonction f ∈ K R (R
k ), et tout ε > 0, il existe des fonctions
intégrables f 1 et f 2 dont les transformées de Fourier sont à support compact
et telles que f 1 f f 2 et
(f 2 − f 1 ) ε.)
c) Supposons que σ
−1
n → 0 dans l’espace des matrices réelles de type (k, k)
et qu’il existe une fonction continue Φ : R
k → C
∗ telle que
µ n · Φ
−1 · ( µ ◦
t σ
−1
n )
−1 → 1
uniformément sur les parties compactes de R
k . Alors les conditions ci-dessus
sont satisfaites.
d) Prenons k = 1. Soit µ une mesure de probabilité sur R de base la mesure
de Lebesgue telle que la fonction identique x de R appartient à L
2 (ν) et telle
que µ(x) = 0. Soit σ 0 tel que σ
2 = µ(x
2 ). On suppose σ > 0. Pour
tout entier n 1, soit µ
n la n-ème puissance de convolution de µ. Pour tout
sous-ensemble mesurable borné B ⊂ R dont la frontière est de mesure nulle
par rapport à la mesure de Lebesgue, on a
lim
n→+∞
σ
√
n µ
n (B) =
1
2
√
π
λ(B)
(« théorème limite fondamental local »).
44) Soit I = [a, b] un intervalle compact de R. Soit f une fonction continue
de I dans R
2 qui est injective sur l’intérieur de I, et qui est C
1 par morceaux
(c’est-à-dire qu’il existe une partition finie de I en intervalles J tels que f |J est