TS II.282
EXERCICES
§ 1
41) Soit λ ∈ R
∗
+ . On note λ la mesure discrète sur R supportée sur N
telle que
λ (k) = e
−λ λ
k
k!
(« loi de Poisson de paramètre λ »).
a) La mesure λ est une mesure de probabilité. Calculer la fonction caractéristique de λ ; montrer que la fonction identique x de R appartient à
L
2 (R, , λ ) et calculer (x), (x
2 ).
b) La famille de mesures
λ − λ
√
λ
converge étroitement quand λ → +∞ vers la mesure gaussienne standard (cf.
exercice précédent, b)).
42) Soit n 2 un entier. On note G le groupe S n muni de sa mesure de
Haar µ n de masse totale 1. Soit : S n → R l’application qui à σ associe
a + b, où a est le nombre de cycles dans la décomposition de σ en produit
de cycles disjoints (A, I, p. 60, prop. 7) et b est le nombre de points fixes
de σ. On note ν n la mesure image ν n = (µ n ) sur R. C’est une mesure de
probabilité.
a) La fonction caractéristique ϕ n de ν n vérifie
ϕ n (t) =
n
j=1
1 −
1
j
+
e
it
j
pour tout t ∈ R.
b) Soit n une loi de Poisson de paramètre log(n) et ψ n sa fonction caractéristique. Quand n → +∞, on a
ϕ n (t) =
1
Γ(it)
ψ n (t)(1 + o(1))
uniformément pour t ∈ R. (Utiliser la formule de Gauss pour la fonction
gamma, cf. FVR, VII, p. 11, formule (3).)
c) Soit f n (x) = (x − log(n))/
log(n) pour x ∈ R. La suite de mesures
f n (µ n ) converge étroitement vers la loi gaussienne standard quand n → +∞.
43) Soit k 1 un entier. On note λ la mesure de Lebesgue sur R
k . Soient
(µ n ) n∈N une suite de mesures de probabilité sur R
k et soit µ une mesure de
probabilité sur R
k . Supposons que les conditions suivantes sont satisfaites :
(i) La transformée de Fourier de µ appartient à L
1 (R
k ) ;
(ii) Il existe une suite (σ n ) dans GL(k, R) telle que la suite de mesures
images (σ n (µ n )) converge étroitement vers µ ;