§ 1
EXERCICES
TS II.281
Soit (ν n ) n∈N une suite de mesures de probabilité sur R. On suppose que
pour tout x ∈ R, la suite (ϕ νn (x)) n converge vers un nombre complexe ϕ(x),
et que la fonction x → ϕ(x) est continue en 0.
f ) Soit ε > 0. Il existe a > 0 tel que
ν n ([−a, a]) 횿 1 − ε
pour tout entier n ∈ N.
g) La suite (ν n ) est relativement compacte pour la topologie étroite.
h) La suite (ν n ) converge étroitement vers une mesure de probabilité ν dont
ϕ est la fonction caractéristique (« Théorème de continuité de P. Lévy »).
i) Il existe des suites (ν n ) de mesures de probabilité sur R, ne convergeant
pas étroitement vers une mesure de probabilité, telles que ϕ νn (x) converge
pour tout x ∈ R.
40) Soit ν une mesure de probabilité sur R telle que la fonction identique x
de R appartient à L
2 (ν). Notons m = ν(x) ∈ R et soit σ 0 tel que
σ
2 = ν((x − m)
2 ). On suppose σ > 0.
a) Soit f (t) = (t − m)/σ. La mesure image µ = f (ν) appartient à P(R),
elle vérifie µ(x) = 0 et µ(x
2 ) = 1.
b) Pour n 1, soit µ
n = µ ∗ · · · ∗ µ la n-ème puissance de convolution
de µ. La suite (µ
n ) n1 converge étroitement vers la mesure de probabilité de
densité
1
√
2π
e
−x
2 /2
par rapport à la mesure de Lebesgue sur R, dite « loi gaussienne standard »
(« Théorème limite fondamental de la théorie des probabilités » ; appliquer
l’exercice précédent).
c) Soit d 2 un nombre entier. Pour tout entier n 1, on note s n l’application de [0, 1] dans {0, . . . , d − 1} qui à x associe le n-ème terme du développement de x en base d, s’il est unique, ou le n-ème terme du développement
limité de x en base d, dans le cas contraire (TG, IV, p. 43, n
o 5).
Soit λ la mesure de Lebesgue sur [0, 1]. Notons m d = (d − 1)/2 et σ d =
(d 2 − 1)/12. Pour tous nombres réels a < b, on a
lim
n→+∞
λ
x ∈ [0, 1] | a <
s 1 (x) + · · · + s n (x) − nm d
σ d
√
n
< b
=
1
√
2π
b
a
e
−x
2 /2 dx.