TS II.280
EXERCICES
§ 1
Pour f ∈ P, on note 횿
f ∈ P la fonction sur T telle que F ( 횿
f ) =
F (f )
(fonction conjuguée-harmonique de f ).
a) Soit f ∈ P telle que F (f )(0) = 0 et telle que f est à valeurs réelles. Pour
tout entier k 1, il existe une constante C k , indépendante de f , telle que
f 2k C k f 2k .
(Observer que les coefficients de Fourier de g = f + i
f sont supportés sur N
∗ ,
écrire
R
T
g(x)
2k dx
= 0
et développer par la formule du binôme.)
b) Soit 1 < p < +∞. L’application f →
f de P dans P admet une unique
extension linéaire continue de L
p (T) dans L
p (T) telle que F (
f ) =
F (f ) pour
tout f ∈ L
p (T) (cf. exercice 8). (Pour p 2, utiliser la question précédente
et l’inégalité de M. Riesz (INT, IV, §6, exerc. 18) ; pour 1 < p < 2, utiliser
la dualité.)
c) Le résultat de la question précédente ne s’étend pas au cas p = 1. (Utiliser
la question b) de l’exercice 30.)
39) Soit ν ∈ P(R) une mesure de probabilité sur R. La fonction caractéristique de ν est la fonction ϕ ν de R dans C telle que
ϕ ν (x) =
R
e
itx dν(t)
pour tout x ∈ R.
a) Pour ν 1 , ν 2 dans P(R), on a ν 1 = ν 2 si et seulement si ϕ ν1 = ϕ ν2 .
b) Pour ν 1 , ν 2 dans P(R), on a ν 1 ∗ ν 2 ∈ P(R) et ϕ ν1∗ν2 = ϕ ν1 ϕ ν2 .
c) Soit ν ∈ P(R). La fonction ϕ ν est bornée par 1 et uniformément continue sur R.
d) Soit ν ∈ P(R). Pour tous nombres réels a < b, on a
ν(]a, b[) +
1
2
ν({a, b}) = lim
T→+∞
1
2T
𵫿 T
−T
ϕ ν (x)
e
−ixa − e
−ixb
ix
dx,
et en particulier la limite existe toujours. De plus, pour tout T > 0, on a
ν([−2T
−1 , 2T
−1 ])
1
T
T
−T
1 − R(ϕ ν (x))
dx.
e) Soit (ν n ) n∈N une suite de mesures de probabilité sur R convergeant
étroitement (INT, IX, p. 59, déf. 1) vers une mesure ν ; alors ν ∈ P(R) et
ϕ νn (x) converge vers ϕ ν (x) pour tout x ∈ R.