§ 1
EXERCICES
TS II.279
a) Soit f : C → C un élément de E 1/2 tel que la restriction de f à R
appartient à L
2 (R). Pour tout z ∈ C Z, on a
f (z) =
sin(πz)
π
n∈Z
(−1)
n f (n)
z − n
.
(Utiliser le théorème de Paley-Wiener et la formule a) de l’exercice 1.)
b) Soit f : C → C un élément de E 1/2 tel que f est bornée sur R. Pour tout
z ∈ C Z, on a
f (z) = f (0) +
sin(πz)
π
f
(0) +
n∈Z {0}
(−1)
n z
f (n) − f (0)
n(z − n)
(appliquer la question précédente à la fonction définie par z → (f (z)−f (0))/z
pour z = 0 et qui applique 0 sur f
(0)).
c) Soit f un élément de E 1/2 borné sur R. Alors f
est bornée sur R et on
a
sup
x∈R
|f
(x)| 2 sup
x∈R
|f (x)|
(« inégalité de Bernstein » ; se ramener à majorer |f
(1/2)| et appliquer la
formule précédente).
d) Soit f un élément de E 1/2 tel que la restriction de f à R appartient à
L
2 (R). Soient u et v les fonctions 1-périodiques sur R définies par
u(t) =
f (t) +
f (t − 1),
v(t) = 2iπ(t
f (t) + (t − 1)
f (t − 1))
pour 0 t < 1. Pour presque tout t ∈ [−1, 1], on a
f (t) = (1 − |t|)u(t) + (2iπ)
−1 s(t)v(t),
et les coefficients des séries de Fourier de u et v sont f (−n) et f
(−n), respectivement, pour n ∈ Z.
e) Soit f ∈ E 1/2 comme dans la question précédente. On a pour tout z ∈ C
la formule
f (z) =
sin(πz)
π
2
n∈Z
f (n)
(z − n) 2 +
n∈Z
f
(n)
z − n
,
où la série converge symétriquement dans O(C), c’est-à-dire, uniformément
sur les parties compactes de C. (Utiliser les formules de la question f ) de
l’exercice 1.)
38) Pour tout n ∈ Z, on note e n le caractère x → e
2iπnx de T. On note P
le sous-espace de C (T) engendré par les e n .
Soit a = (a h ) h∈Z une famille de nombres complexes. La famille conjuguéeharmonique est la famille a = (−i s(h)a h ) h∈Z , où s(h) désigne la fonction
signe.