TS II.278
EXERCICES
§ 1
b) Si, pour tout entier h 1, la suite (x n+h − x n ) n est équirépartie modulo 1, alors (x n ) est équirépartie modulo 1. (Utiliser l’exercice précédent et
l’inégalité de van der Corput.)
c) Soient d 1 un entier et P = α d X
d + · · · + α 0 ∈ R[X] un polynôme tel
que α d /
∈ Q. Alors la suite (P(n)) est équirépartie modulo 1. (Raisonner par
récurrence sur d 1.)
36) Soit σ un nombre réel positif. On note E σ l’espace vectoriel complexe
des fonctions entières f sur C telles que, pour tout nombre réel ε > 0, on a
|f (z)| = O(e
2π(σ+ε)|z| ),
quand |z| → +∞.
a) Supposons σ > 0. Soit g ∈ L
2 ([−σ, σ]). La fonction
f (z) =
σ
−σ
g(x)e
−2iπxz dx
appartient à E σ . La restriction de f à R appartient à L
2 (R).
Soit f ∈ E σ telle que la restriction de f à R appartient à L
2 (R). Soit
g ∈ L
2 (R) la transformée de Fourier de la restriction de f à R. Le but de cet
exercice est de démontrer que le support de g est contenu dans [−σ, σ] ; d’après
la question a), cela fournit une caractérisation de l’espace E σ (« théorème de
Paley-Wiener »).
b) Pour tout nombre réel θ, la fonction
h θ (z) = e
−iθ
+∞
0
f (re
−iθ ) exp(−2πzre
−iθ )dr
est holomorphe dans le demi-plan H θ de C déterminé par l’inégalité
R(z) cos(θ) + I (z) sin(θ) > σ.
c) Si θ 1 et θ 2 sont tels que |θ 1 −θ 2 | < π, alors h θ1 |H θ1 ∩H θ2 = h θ2 |H θ2 ∩H θ1 .
(Appliquer la formule de Cauchy.)
d) La fonction h 0 (resp. h π ) est holomorphe dans l’ouvert des z ∈ C tels
que R(z) > 0 (resp. R(z) < 0).
e) Soit U = C i[−σ, σ]. Il existe une unique fonction holomorphe h sur U
telle que h(z) = h 0 (z) si R(z) > 0 et h(z) = h π (z) si R(z) < 0.
f ) Quand x → 0 par valeurs > 0, les fonctions
y → h 0 (x + iy) − h π (−x + iy)
convergent vers g dans L
2 (R).
g) Conclure que g est nulle presque partout en dehors de [−σ, σ].
37) On garde les notations de l’exercice précédent.