§ 1
EXERCICES
TS II.277
Si 4k est un entier, alors il existe des entiers (n 1 , . . . , n ) tels que p ne
divise pas tout les n i et tels que
n
k
1 + · · · + n
k
≡ 0 mod. p
γ .
34) Pour tout groupe compact commutatif G, on note µ G la mesure de Haar
normalisée sur G.
a) Soit G un groupe compact commutatif. Soit (ν n ) n∈N une suite de mesures sur G telles que ν n (G) = 1 pour tout n. Alors (ν n ) converge vaguement
vers µ G si et seulement si ν n ( x) converge vers 0 pour tout caractère
x = 1 de
G (« critère d’équirépartition de Weyl »).
b) Soient r 1 un entier et x = (x 1 , . . . , x r ) ∈ T
r . Pour n 0, on note ν n
la mesure sur T
r telle que
ν n (f ) =
1
n
n−1
k=0
f (kx)
pour f ∈ C (T
r ). La suite (ν n ) converge vaguement vers la mesure de Haar
normalisée µ H , où H est l’adhérence dans T
r de l’ensemble {kx | k ∈ Z}.
c) Soient y i des réels tels que x i est la classe de y i . Si la famille (1, y 1 , . . . , y n )
est Q-linéairement indépendante, alors on a H = T
r . (« Théorème de Kronecker ».)
d) Soient P l’ensemble des nombres premiers et G = U
P . Pour tout nombre
réel T > 0, soit λ T la mesure T
−1 λ sur [0, T], où λ est la mesure de Lebesgue sur R. Soit ν T la mesure image de λ T par l’application continue
t → (p
it ) p∈P de [0, T] dans G. Quand T → +∞, la famille (ν T ) converge
vaguement vers µ G .
35) a) Pour tout entier N 1, toute famille (a n ) 1nN de nombres complexes et tout entier H 1, on a
N
n=1
a n
2
1 +
N + 1
H
|h|
|h|
H
1nN
1n+hN
a n+h a n
(« inégalité de van der Corput »). (Poser a n = 0 si n n’est pas entre 1 et
N ; écrire
n a n =
n a n+h pour 0 h < H, sommer sur h, puis appliquer
l’inégalité de Cauchy-Schwarz.)
Notons π : R → R/Z la projection canonique. On dit qu’une suite (x n ) de
nombres réels est équirépartie modulo 1 si la suite (ν n ) de mesures sur R/Z
définie par
ν n (f ) =
1
n
n
k=1
f (π(x k )),
f ∈ C (R/Z)
converge vaguement vers la mesure de Haar de masse totale 1 sur R/Z.
EXERCICES
TS II.277
Si 4k est un entier, alors il existe des entiers (n 1 , . . . , n ) tels que p ne
divise pas tout les n i et tels que
n
k
1 + · · · + n
k
≡ 0 mod. p
γ .
34) Pour tout groupe compact commutatif G, on note µ G la mesure de Haar
normalisée sur G.
a) Soit G un groupe compact commutatif. Soit (ν n ) n∈N une suite de mesures sur G telles que ν n (G) = 1 pour tout n. Alors (ν n ) converge vaguement
vers µ G si et seulement si ν n ( x) converge vers 0 pour tout caractère
x = 1 de
G (« critère d’équirépartition de Weyl »).
b) Soient r 1 un entier et x = (x 1 , . . . , x r ) ∈ T
r . Pour n 0, on note ν n
la mesure sur T
r telle que
ν n (f ) =
1
n
n−1
k=0
f (kx)
pour f ∈ C (T
r ). La suite (ν n ) converge vaguement vers la mesure de Haar
normalisée µ H , où H est l’adhérence dans T
r de l’ensemble {kx | k ∈ Z}.
c) Soient y i des réels tels que x i est la classe de y i . Si la famille (1, y 1 , . . . , y n )
est Q-linéairement indépendante, alors on a H = T
r . (« Théorème de Kronecker ».)
d) Soient P l’ensemble des nombres premiers et G = U
P . Pour tout nombre
réel T > 0, soit λ T la mesure T
−1 λ sur [0, T], où λ est la mesure de Lebesgue sur R. Soit ν T la mesure image de λ T par l’application continue
t → (p
it ) p∈P de [0, T] dans G. Quand T → +∞, la famille (ν T ) converge
vaguement vers µ G .
35) a) Pour tout entier N 1, toute famille (a n ) 1nN de nombres complexes et tout entier H 1, on a
N
n=1
a n
2
1 +
N + 1
H
|h|
|h|
H
1nN
1n+hN
a n+h a n
(« inégalité de van der Corput »). (Poser a n = 0 si n n’est pas entre 1 et
N ; écrire
n a n =
n a n+h pour 0 h < H, sommer sur h, puis appliquer
l’inégalité de Cauchy-Schwarz.)
Notons π : R → R/Z la projection canonique. On dit qu’une suite (x n ) de
nombres réels est équirépartie modulo 1 si la suite (ν n ) de mesures sur R/Z
définie par
ν n (f ) =
1
n
n
k=1
f (π(x k )),
f ∈ C (R/Z)
converge vaguement vers la mesure de Haar de masse totale 1 sur R/Z.