TS II.276
EXERCICES
§ 1
c) Soit p un nombre premier. Supposons que
0 m 1 < m 2 < · · · < m r p − 1.
Soient ξ 1 , . . ., ξ r des racines p-èmes de l’unité distinctes. On a
F r (ξ 1 , . . . , ξ r ) = 0.
(« Théorème de Chebotarev » ; soit ξ une racine primitive p-ème de l’unité ;
on a F r (ξ 1 , . . . , ξ r ) = P(ξ) où P ∈ Z[x] est de degré p − 1 ; d’après l’irréductibilité des polynômes cyclotomiques, la condition F r (ξ 1 , . . . , ξ r ) = 0
impliquerait que F r (1, . . . , 1) est divisible par p ; en utilisant a) avec x i → 1,
démontrer que ce n’est pas le cas.)
d) Soit G = Z/pZ. Pour toute fonction f = 0 de G dans C, on a
Card(Supp(f )) + Card(Supp(
f )) p + 1.
e) Pour tous sous-ensembles non vides A et B dans G tels que
Card(A) + Card(B) p + 1,
il existe f : G → C dont le support est A et telle que le support de
f est B.
(Considérer d’abord le cas où Card(A) + Card(B) = p + 1.)
f ) Soient A et B des sous-ensembles quelconques de G. On a
Card(A + B) inf(Card(A) + Card(B) − 1, p)
(« théorème de Cauchy-Davenport » ; appliquer la question précédente à
(A, C) et à (B, D), où C et D sont des sous-ensembles de cardinal respectivement p + 1 − Card(A) et p + 1 − Card(B), tels que C ∩ D a cardinal
sup(Card(A) + Card(B) − p, 1).)
g) Soit (a 1 , . . . , a 2p−1 ) une famille d’éléments de F p . Il existe un sousensemble I ⊂ {1, . . . , 2p − 1} de cardinal p tel que
𚵿
i∈I
a i = 0.
Cette propriété est fausse en général pour une famille dans F
2p−2
p
. (Soient
0 b 1 · · · · · · b 2p−1 < p des entiers dont les réductions modulo p
forment une permutation de (a 1 , . . . , a 2p−1 ) ; traiter directement le cas où il
existe i tel que a i = a i+p−1 , et appliquer la question précédente dans le cas
contraire.)
h) Soit k 1 un entier. Soit ν 0 l’entier tel que k = p
ν r où p ne divise
pas r. Notons γ l’entier
γ =
ν + 1 si p 3
ν + 2 sinon.